Lihat sumber Bilangan kompleks

{{short description|Elemen sistem bilangan yang –1 memiliki akar kuadrat}}
{{Use dmy dates|date=Oktober 2020}}
[[Berkas:Complex number illustration.svg|thumb|right|Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka {{math|(''a'', ''b'')}} membentuk vektor pada diagram yang disebut [[diagram Argand]], mewakili [[bidang kompleks]]. "Re"adalah sumbu nyata,"Im"adalah sumbu imajiner, dan {{math|''i''}} memuaskan {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
'''Bilangan kompleks''' dalam [[matematika]], adalah bilangan yang dinotasikan oleh <math> a + bi \,</math>, di mana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan riil]], dan ''i'' adalah suatu [[bilangan imajiner]] di mana ''i'' <sup>2</sup> = −1. Bilangan riil ''a'' disebut juga ''[[bagian riil]]'' dari bilangan kompleks, dan bilangan real ''b'' disebut ''[[bagian imajiner]]''. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai ''b'' adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real ''a''.

Sebagai contoh, 3 + 2''i'' adalah ''bilangan kompleks'' dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2''i''.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar [[polinomial]] mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti [[teknik elektro]], di mana ''i'' digunakan sebagai simbol untuk [[arus listrik]]), bilangan kompleks ditulis ''a'' + ''bj''.

== Garis besar ==
=== Notasi dan operasi ===
[[Himpunan]] bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan '''C''', atau <math>\mathbb{C}</math>. Bilangan real, '''R''', dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan '''C''' dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: <math>a = a + 0i</math>.

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti [[asosiatif]], [[komutatif]], dan [[distributif]], dan dengan persamaan ''i'' <sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;−1:

:(''a'' + ''bi'') + (''c'' + ''di'') = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')''i''
:(''a'' + ''bi'') − (''c'' + ''di'') = (''a''−''c'') + (''b''−''d'')''i''
:(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = ''ac'' + ''bci'' + ''adi'' + ''bd i'' <sup>2</sup> = (''ac''−''bd'') + (''bc''+''ad'')''i''

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, [[analisis kompleks]], [[matriks kompleks]], [[polinomial kompleks]], dan [[aljabar Lie kompleks]].

=== Definisi ===
[[Berkas:Illustration of a complex number.svg|right|thumb|upright=1.05|Ilustrasi dari bilangan kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} dalam [[medan kompleks]]. Bagian yang sebenarnya adalah {{mvar|x}}, dan bagian imajinernya adalah {{mvar|y}}.]]
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (''a'', ''b'') dengan operasi sebagai berikut:
* <math> ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) \,</math>
* <math> ( a, b ) \cdot ( c, d ) = ( ac - bd, bc + ad ). \,</math>

Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan '''C'''.

Karena bilangan kompleks ''a'' + ''bi'' merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (''a'', ''b''), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan [[bidang kompleks]].

Bilangan riil ''a'' dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (''a'', 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil '''R''' menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks '''C'''.

Dalam '''C''', berlaku sebagai berikut:
* identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
* identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
* invers penjumlahan (''a'',''b''): (−''a'', −''b'')
* [[invers perkalian]] (reciprocal) bukan nol (''a'', ''b''): <math>\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).</math>

== Notasi ==
=== Bentuk Penjumlahan ===
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
:<math>a + b i</math>

=== Bentuk Polar ===
Dengan menganggap bahwa:
:<math>r = \sqrt {a^2 + b^2}</math>
dan
:<math>\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math>
maka
:<math>a + b i = r (\cos \theta + i \sin \theta) </math>

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk <math>r (\cos \theta + i \sin \theta)</math> juga sering ditulis sebagai <math>r \, cis \theta</math>.

=== Bentuk Eksponen ===
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:
:<math>r e^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta)</math>

== Bidang kompleks ==
<div style="float:right; margin-left:3px; margin-right:3px" title="Graphic Representation">
[[Berkas:complex.png]]
</div>

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan '''[[bidang kompleks]]''' atau '''Diagram Argand'''.

[[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat Kartesius]] bilangan kompleks adalah bagian riil ''x'' dan bagian imajiner ''y'', sedangkan koordinat sirkulernya adalah ''r'' = |''z''|, yang disebut [[modulus]], dan φ = arg(''z''), yang disebut juga ''argumen kompleks'' dari ''z'' (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan [[Rumus Euler]], dapat diperoleh:
:<math> z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi}. \,</math>

Kadang-kadang, notasi ''r'' cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik [[modulo]] 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan [[bilangan bulat]] dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan [[identitas trigonometri]] dasar,
dapat diperoleh:

:<math>r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2} 
= r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,</math>
dan
:<math>\frac{r_1 e^{i\phi_1}}
{r_2 e^{i\phi_2}}
= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)}. \,</math>

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti [[penjumlahan vektor]] dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (<math>\pi/2</math> [[radian]]). Secara geometris, persamaan ''i''<sup>2</sup> = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (<math>\pi</math> radian).

== Konstruksi formal ==
=== Konstruksi sebagai tatanan ===
[[William Rowan Hamilton]] memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan {{math|'''C'''}} dari bilangan kompleks<ref>{{cite book|title=A Brief History of Numbers|url=https://archive.org/details/briefhistoryofnu0000corr|first=Leo |last=Corry|publisher=Oxford University Press|year=2015|pages=[https://archive.org/details/briefhistoryofnu0000corr/page/215 215]–16}}</ref> sebagai himpunan {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} {{nowrap|[[pasangan order]] {{math|(''a'', ''b'')}}}} dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:<ref name="Apostol 1981"/>

: <math>\begin{align}
(a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\
(a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad).
\end{align}</math>

Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan {{math|(''a'', ''b'')}} sebagai {{math|''a'' + ''bi''}}.

=== Konstruksi sebagai medan hasil bagi ===
Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar {{math|'''C'''}} lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, [[hukum distributif]]
:<math>(x+y) z = xz + yz</math>
harus memegang untuk tiga elemen {{mvar|x}}, {{mvar|y}} dan {{mvar|z}} dari sebuah lapangan. Himpunan {{math|'''R'''}} bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial {{math|''p''(''X'')}} dengan [[koefisien]] nyata adalah ekspresi dari bentuk
:<math>a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,</math>
Dimana {{math|''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan {{math|'''R'''[''X'']}} dari semua polinomial dengan struktur [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Gelanggang ini disebut [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai [[gelanggang hasil bagi]] {{math|'''R'''[''X'']/(''X'' <sup>2</sup> + 1)}}.<ref name="Bourbaki"/> Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari {{math|−1}}, yaitu ([[coset]] dari) {{math|''X''}} dan {{math|−''X''}}, masing-masing. (Koset dari) {{math|1}} dan {{math|''X''}} membentuk dasar dari {{math|'''R'''[''X'']/(''X'' <sup>2</sup> + 1)}} sebagai [[ruang vektor]] nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai [[kombinasi linier]] di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan {{math|(''a'', ''b'')}} dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena {{math|''X''<sup>2</sup> + 1}} adalah [[Polinomial tak tersederhanakan|tak tersederhanakan]] berakhir {{math|'''R'''}}, sehingga ideal yang dihasilkan adalah [[Ideal maksimal|maksimal]].

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring {{math|'''R'''[''X'']}}, modulo the relation {{math|''X''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

=== Wakilan matriks dari bilangan kompleks === <!-- .Bagian ini ditautkan dari [[persamaan Cauchy-Riemann]] -->
Bilangan kompleks {{math|''a'' + ''bi''}} bisa juga diwakili oleh {{math|2 × 2}} [[matriks (matematika)|matriks]] yang memiliki bentuk sebagai berikut:
:<math>
\begin{pmatrix}
  a &   -b  \\
  b & \;\; a
\end{pmatrix}
</math>
Di sini entri {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan [[perkalian matriks|perkalian]] dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:
:<math>
\begin{pmatrix}
  a &   -b  \\
  b & \;\; a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  c &   -d  \\
  d & \;\; c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
  ac-bd &   -ad-bc  \\
  bc+ad & \;\; -bd+ac
\end{pmatrix}
</math>

Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam [[matriks rotasi]] dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan [[determinan]] matriks tersebut:
:<math> |z|^2 =
\begin{vmatrix}
  a & -b  \\
  b &  a
\end{vmatrix}
= a^2 + b^2.
</math>
Konjugasi <math>\overline z</math> sesuai dengan [[transpos]] dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks '' selain '' <math>\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)</math> kuadrat itu ke negatif dari [[matriks identitas]]. Lihat artikel tentang [[2 × 2 matriks riil]] untuk representasi lain dari bilangan kompleks.

== Geometri ==
=== Bentuk ===
Tiga poin [[collinearity|non-collinear]] <math>u, v, w</math> di pesawat tentukan '' 'bentuk' '' segitiga <math>\{u, v, w\}</math>. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmatika kompleks sebagai
:<math>S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. </math>
Bentuk <math>S</math> sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan [[transformasi affin]]), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan [[kesamaan (geometri)|kesamaan]]. Demikianlah setiap segitiga <math>\{u, v, w\}</math> berada dalam [[bentuk#kelas kesamaan|kelas kesamaan]] segitiga dengan bentuk yang sama.<ref>{{citation|last=Lester|first=J.A.|title=Triangles I: Shapes|journal=[[Aequationes Mathematicae]]|volume=52|pages=30–54|year=1994|doi=10.1007/BF01818325|s2cid=121095307}}</ref>

=== Geometri fraktal ===
[[Berkas:Mandelset hires.png|right|250px|thumb|Set Mandelbrot dengan sumbu nyata dan imajiner berlabel.]]
[[Himpunan Mandelbrot]] adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi <math> c </math> tempat melakukan iterasi urutan <math>f_c(z)=z^2+c</math> tidak [[menyimpang (teori stabilitas)|menyimpang]] ketika [[iterasi]] tanpa batas. Demikian pula, [[himpunan Julia]] memiliki aturan yang sama, kecuali di mana <math>c</math> tetap konstan.

=== Segitiga ===
Setiap segitiga memiliki [[Steiner inellipse]] unik sebuah [[elips]] di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. [[Fokus (geometri)|fokus]] dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut [[teorema Marden]]:<ref>{{Citation|last1=Kalman|first1=Dan|title=An Elementary Proof of Marden's Theorem|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=115|issue=4|pages=330–38|year=2008a|doi=10.1080/00029890.2008.11920532|s2cid=13222698|issn=0002-9890|access-date=1 January 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120308104622/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1|archive-date=8 March 2012|url-status=live}}</ref><ref>{{Citation|last1=Kalman|first1=Dan|title=The Most Marvelous Theorem in Mathematics|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663|journal=[[Journal of Online Mathematics and its Applications]]|year=2008b|access-date=1 January 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120208014954/http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663|archive-date=8 February 2012|url-status=live}}</ref> Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai {{math|1=''a'' = ''x''<sub>''A''</sub> + ''y''<sub>''A''</sub>''i''}}, {{math|1=''b'' = ''x''<sub>''B''</sub> + ''y''<sub>''B''</sub>''i''}}, and {{math|1=''c'' = ''x''<sub>''C''</sub> + ''y''<sub>''C''</sub>''i''}}. Tulis [[persamaan kubik]] <math>\scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0</math>, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. [[Teorema Marden]] mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

== Lihat pula ==
{{Commons category|Complex numbers}}
{{portal|matematika}}
* [[Bilangan asli]]
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan cacah]]
* [[Bilangan imajiner]]
* [[Bilangan riil]]
* [[Bilangan rasional]]
* [[Bilangan irasional]]
* [[Bilangan prima]]
* [[Bilangan komposit]]
* [[Pecahan]]
* [[Permukaan aljabar]]
* [[Gerakan melingkar#Menggunakan bilangan kompleks|Gerakan melingkar menggunakan bilangan kompleks]]
* [[Sistem basis kompleks]]
* [[Geometri kompleks]]
* [[Bilangan kompleks ganda]]
* [[Bilangan bulat Eisenstein]]
* [[Identitas Euler]]
* [[Aljabar geometri#Satuan pseudoskalar|Aljabar geometri]] (yang menyertakan bidang kompleks sebagai subruang 2-dimensi [[Spinor#Dua dimensi|spinor]] <math>\mathcal{G}_2^+</math>)
* [[Akar persatuan]]
* [[Bilangan kompleks satuan]]

== Catatan ==
{{Reflist|group="note"}}

== Referensi ==
{{Reflist}}

=== Kutipan ===
* {{Citation |last=Ahlfors |first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
* {{cite book|title=Mathematical analysis|last=Apostol |first=Tom |author-link=Tom Apostol|year=1981|publisher=Addison-Wesley |ref={{harvid|Apostol|1981}} }}
* {{springer|id=c/c024140|title=Complex number|year=2001|first=E.D.|last=Solomentsev}}

== Bacaan lebih lanjut ==
{{wikiversity|Bilangan Kompleks}}
{{wikibooks|Kalkulus / Bilangan Kompleks}}
{{EB1911 poster|Number/Complex Numbers}}
* {{citation |last= Penrose |first= Roger |author-link= Roger Penrose |title= The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe |publisher= Alfred A. Knopf |year= 2005 |isbn= 978-0-679-45443-4 |url= https://archive.org/details/roadtorealitycom00penr_0 }}
* {{citation |last1= Derbyshire |first= John |author-link= John Derbyshire |title= Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra |publisher= Joseph Henry Press |isbn= 978-0-309-09657-7 |year= 2006 |url= https://archive.org/details/isbn_9780309096577 }} 
* {{citation |last= Needham |first= Tristan |title= Visual Complex Analysis |publisher= Clarendon Press |isbn= 978-0-19-853447-1 |year=1997}}

=== Matematika ===
* {{Citation |last=Ahlfors |first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
* {{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}
* {{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D. |title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
* {{Citation |last=Pedoe |first=Dan |authorlink=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}
* {{Citation |last1=Press |first1=WH |last2=Teukolsky |first2=SA |last3=Vetterling |first3=WT |last4=Flannery |first4=BP |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |location=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.5 Complex Arithmetic |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225}}
* {{springer|id=c/c024140|title=Complex number|year=2001|first=E.D.|last=Solomentsev}}

=== Sejarah ===
* {{citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title= Elements of the history of mathematics |chapter= Foundations of mathematics § logic: set theory |publisher= Springer |year= 1998 |ref= {{harvid|Bourbaki|1998}} }}
* {{Citation |last1=Burton |first1=David M. |title=The History of Mathematics |publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |edition= 3rd |isbn=978-0-07-009465-9 |year=1995}}
* {{Citation |last1=Katz |first1=Victor J. |title=A History of Mathematics, Brief Version |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}
* {{Citation |title=An Imaginary Tale: The Story of <math>\scriptstyle\sqrt{-1}</math> |first=Paul J. |last=Nahin |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-02795-1 |year=1998}}
*: A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
* {{Citation |first1=H. D. |last1= Ebbinghaus |first2=H. |last2= Hermes |first3=F. |last3=Hirzebruch |first4=M. |last4=Koecher |first5=K. |last5= Mainzer |first6=J. |last6= Neukirch |first7=A. |last7=Prestel |first8=R. |last8=Remmert |title=Numbers |publisher=Springer |isbn=978-0-387-97497-2 |edition=hardcover |year=1991}}
*: An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

{{Sistem Bilangan}}
{{Bilangan kompleks}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Bilangan Kompleks}}
[[Kategori:Komposisi aljabar]]
[[Kategori:Bilangan kompleks| ]]