Lihat sumber Bilangan hiperkompleks

{{distinguish|bilangan surkompleks}}
{{Redirect|Bilanganhiper|ekstensi bilangan real yang digunakan dalam [[analisis non-standar]]|bilangan hiperriil}}
Dalam [[matematika]], '''bilangan hiperkompleks''' adalah istilah tradisional untuk [[elemen (matematika)|elemen]] dari [[Aljabar di atas bidang#Aljabar satuan|satuan]] [[aljabar di atas bidang|aljabar]] di atas [[bidang (matematika)|bidang]].
Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori [[representasi grup]] modern.

== Sejarah ==
Pada abad kesembilan belas [[sistem bilangan]] disebut [[kuaternion]], [[tessarin]], [[kokuaternion]], [[bikuaternion]], dan [[oktonion]] menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan [[bilangan kompleks]]. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika [[Benjamin Peirce]] pertama kali menerbitkan '' Aljabar asosiatif linear '', dan dibawa oleh putranya [[Charles Sanders Peirce]].<ref>{{citation |title=Linear Associative Algebra |journal=[[American Journal of Mathematics]] |volume=4 |issue=1 |pages=221–6 |year=1881 |jstor=2369153|last1= Peirce|first1= Benjamin}}</ref>  Mengidentifikasi [[nilpoten]] dan [[elemen idempoten (teori gelanggang)|elemen idempoten]] sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. [[Konstruksi Cayley–Dickson]] menggunakan [[involusi (matematika)|involusi]] untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: [[Teorema Hurwitz (aljabar pembagi bernorma)|Teorema Hurwitz]] menyatakan bahwa [[komposisi aljabar]] riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan [[Teorema Frobenius (aljabar divisi riil)|Teorema Frobenius]] menyatakan bahwa satu-satunya [[aljabar pembagian asosiatif]] adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 [[Frank Adams|J. Frank Adams]] menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang-'' H '' yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.<ref name="Adams1958">{{citation | jstor=1970147 | title=On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One | author=Adams, J. F. | journal=Annals of Mathematics |date=July 1960  | volume=72 | issue=1 | pages=20–104 | doi=10.2307/1970147| url=http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Adams-HI1.pdf | citeseerx=10.1.1.299.4490 }}</ref>

[[matriks (matematika)|Aljabar matriks]] yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti [[matriks real 2 × 2]]. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka.  Pada tahun 1907 [[Joseph Wedderburn]] menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks.<ref>{{citation |author=J.H.M. Wedderburn |author-link=Joseph Wedderburn | title=On Hypercomplex Numbers |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=6 | pages=77–118 |year=1908 | doi= 10.1112/plms/s2-6.1.77 |url=https://zenodo.org/record/1447798 }}</ref><ref>[[Emil Artin]] kemudian menggeneralisasikan hasil Wedderburn sehingga dikenal sebagai [[Teorema Artin–Wedderburn]]</ref> Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi [[aljabar asosiatif]] seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di [[Universitas Edinburgh]]. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan [[kuaternion hiperbolik]] mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

Sebagai Hawkins<ref>{{citation |first=Thomas |last=Hawkins |title=Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory |journal=[[Archive for History of Exact Sciences]] |volume=8 |pages=243–287 |year=1972 |issue=4 |doi=10.1007/BF00328434 |s2cid=120562272 }}</ref> menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori [[grup Lie]] dan [[representasi grup]]. Misalnya, pada tahun 1929 [[Emmy Noether]] menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi".<ref>{{citation | last = Noether | first = Emmy | year = 1929 | title = Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie | trans-title = Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations | journal = Mathematische Annalen | volume = 30 | pages = 641–92 | doi = 10.1007/BF01187794 | s2cid = 120464373 | language = de | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002371448&L=1 | access-date = 2016-01-14 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160329230805/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002371448&L=1 | archive-date = 2016-03-29 | url-status = dead }}</ref> Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.<ref name=KS78>Kantor, I.L., Solodownikow (1978), ''Hyperkomplexe Zahlen'', BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig</ref><ref>{{Citation | last1=Kantor | first1=I. L. | last2=Solodovnikov | first2=A. S. | title=Hypercomplex numbers | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-96980-0 | mr=996029 | year=1989 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant }}</ref>

[[Karen Parshall]] telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks,<ref>{{citation |author-link=Karen Parshall |first=Karen |last=Parshall |title=Wedderburn and the Structure of Algebras |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=32 |pages=223–349 |year=1985 |doi=10.1007/BF00348450 |s2cid=119888377 }}</ref> termasuk peran matematikawan termasuk [[Theodor Molien]]<ref>{{citation |author-link=Theodor Molien |first=Theodor |last=Molien |title=Ueber Systeme höherer complexer Zahlen |journal=Mathematische Annalen |volume=41 |issue=1 |pages=83–156 |year=1893 |doi=10.1007/BF01443450 |s2cid=122333076 |url=https://zenodo.org/record/2029540}}</ref> dan [[Eduard Study]].<ref>{{citation |author-link=Eduard Study |first=Eduard |last=Study |year=1898 |chapter=Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen |title=[[Klein's encyclopedia|''Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften]] |volume=I A |issue=4 |pages=147–183}}</ref> Untuk transisi ke [[Abstrak aljabar|aljabar modern]], [[Bartel van der Waerden]] menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam '' Sejarah Aljabar ''.<ref>{{citation |author-link=B.L. van der Waerden |first=B.L. |last=van der Waerden |year=1985 |title=A History of Algebra |chapter=10. The discovery of algebras, 11. Structure of algebras |publisher=Springer |isbn=3-540-13610X}}</ref>

== Definisi ==
Definisi dari '''bilangan hiperkompleks''' oleh {{harvtxt|Kantor|Solodovnikov|1989}} sebagai elemen aljabar berdimensi hingga atas bilangan sebenarnya adalah [[aljabar unital|unital]] tetapi tidak harus [[sifat asosiatif|asosiatif]] atau [[sifat komutatif|komutatif]]. Elemen dihasilkan dengan koefisien bilangan riil <math>(a_0, \dots, a_n)</math> untuk dasar <math>\{ 1, i_1, \dots, i_n \}</math>. Jika memungkinkan, adalah konvensional untuk memilih basis tersebut <math>i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}</math>. Pendekatan teknis untuk bilangan hypercomplex mengarahkan perhatian pertama ke [[dimensi]] dua.

== Aljabar riil dua dimensi ==
{{Math theorem|<ref name=KS78/>{{rp|14,15}}<ref>{{citation |author-link=Isaak Yaglom |first=Isaak |last=Yaglom |year=1968 |title=Complex Numbers in Geometry |pages=10–14}}</ref><ref>{{citation |editor-first=John H. |editor-last=Ewing editor |year=1991 |title=Numbers |page=237 |publisher=Springer |isbn=3-540-97497-0}}</ref> Sampai dengan isomorfisme, terdapat tepat tiga aljabar unital 2 dimensi di atas riil: biasa [[bilangan kompleks]], [[bilangan kompleks terpisah]], dan [[bilangan ganda]]. Secara khusus, setiap aljabar unital 2 dimensi di atas real adalah asosiatif dan komutatif.}}

Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1, '' u ''}. Karena aljabar [[penutupan (matematika)|tertutup]] di bawah kuadrat, elemen basis non-riil '' u '' persegi menjadi kombinasi linear 1 dan '' u '':
:<math>u^2=a_0+a_1u</math>
untuk beberapa bilangan riil ''a''<sub>0</sub> dan ''a''<sub>1</sub>.
Menggunakan metode umum [[kuadrat kompleks]] dengan mengurangi ''a''<sub>1</sub>''u'' dan menambahkan komplemen kuadrat ''a''{{su|b=1|p=2}} / 4 untuk kedua sisi hasil
:<math>u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.</math>
Thus <math>\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2</math> dimana <math>\tilde{u}^2~=a_0 + \frac{a_1^2}{4}.</math>
Ketiga kasus tersebut bergantung pada nilai riil:
* Bila {{nowrap|1=4''a<sub>0</sub>'' = −''a''<sub>1</sub><sup>2</sup>}}, hasil rumus di atas {{nowrap|1=''ũ''<sup>2</sup> = 0}}. Oleh karena itu, '' ũ '' dapat langsung diidentifikasi dengan elemen [[nilpoten]] <math>\epsilon</math> dari dasar <math>\{ 1, ~\epsilon \}</math> dari dua angka.
* Bila {{nowrap|4''a<sub>0</sub>'' > −''a''<sub>1</sub><sup>2</sup>}}, rumus di atas menghasilkan {{nowrap|''ũ''<sup>2</sup> > 0}}. Hal ini mengarah pada bilangan kompleks terbagi yang memiliki basis yang dinormalisasi <math>\{ 1 , ~j \}</math> dengan <math>j^2 = +1</math>. Untuk mendapatkan '' j '' dari '' ũ '', yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif <math>a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}</math> yang memiliki kotak yang sama dengan '' ũ ''.
* Bila {{nowrap|4''a<sub>0</sub>'' < −''a''<sub>1</sub><sup>2</sup>}}, rumus di atas menghasilkan {{nowrap|''ũ''<sup>2</sup> < 0}}. Bilangan kompleks yang memiliki basis yang dinormalisasi <math>\{ 1 , ~i \}</math> with <math>i^2 = -1</math>. Untuk menghasilkan '' i '' dari '' ũ '', yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif <math>a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}</math> yang kuadratkan ke negatif ''ũ''<sup>2</sup>.

Bilangan kompleks adalah satu-satunya aljabar hiperkompleks 2 dimensi yang merupakan [[Bidang (matematika)|bidang]].
Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung [[elemen idempoten|idempoten]] <math>\tfrac{1}{2} (1 \pm j)</math> dan [[pembagi nol]] <math>(1 + j)(1 - j) = 0</math>, jadi aljabar seperti itu tidak bisa [[aljabar pembagian]] s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan [[transformasi Lorentz]] dari [[relativitas khusus]].

Dalam edisi 2004 [[Majalah Matematika]], aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum".<ref>{{citation |first1=Anthony A. |last1=Harkin |first2=Joseph B. |last2=Harkin |title=Geometry of Generalized Complex Numbers |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=77 |issue=2 |pages=118–129 |year=2004 |doi=10.1080/0025570X.2004.11953236 |s2cid=7837108 |url=http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf}}</ref> The idea of [[cross-ratio]] of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.<ref>{{citation |first=Sky |last=Brewer |title=Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers |journal=[[Advances in Applied Clifford Algebras]] |volume=23 |issue=1 |pages=1–14 |year=2013 |doi=10.1007/s00006-012-0335-7 |arxiv=1203.2554|s2cid=119623082 }}</ref>

== Lihat pula ==
* [[Sedenions]]
* [[Thomas Kirkman]]
* [[Georg Scheffers]]
* [[Richard Brauer]]
* [[Analisis hiperkompleks]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
{{refbegin}}
* {{citation |first=Daniel |last=Alfsmann |chapter=On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing |chapter-url=http://www.eurasip.org/proceedings/eusipco/eusipco2006/papers/1568981962.pdf |title=14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy |year=2006 |pages=1–4 |url=https://ieeexplore.ieee.org/servlet/opac?punumber=7065145 }}
* {{citation |author-link=Emil Artin |first=Emil |last=Artin |orig-year=1928 |chapter=Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen  |title=The Collected Papers of Emil Artin |publisher=[[Addison-Wesley]] |year=1965 |pages=301–345 |editor-link=Serge Lang |editor-first=Serge |editor-last=Lang |editor2-link=John T. Tate |editor2-first=John T. |editor2-last=Tate}}
* {{Citation | last1=Baez | first1=John | author1-link=John Baez | title=The Octonions | url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html | year=2002 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=39 | issue=2 | pages=145–205 | doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X | arxiv=math/0105155 | s2cid=586512 }}
* {{citation |author-link=Élie Cartan |first=Élie |last=Cartan |chapter=Les systèmes de nombres complex et les groupes de transformations |title=Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées |volume=I 1 |year=1908 }}. and ''Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.
* {{citation |author-link=Max Herzberger |first=Max |last=Herzberger |year=1923 |url=https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/4V6F5ID5PHYD7UJ4F4ZDWHD2SBEXGCGQ |title=Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen |work=Doctoral Disseration |publisher=[[Humboldt University of Berlin|Friedrich Wilhelm University]] |accessdate=2021-01-24 |archive-date=2021-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210130183638/https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/4V6F5ID5PHYD7UJ4F4ZDWHD2SBEXGCGQ |dead-url=yes }}
* {{citation |first=Jeanne |last=La Duke |chapter=The study of linear associative algebras in the United States, 1870–1927 |pages=147–159 |editor-first=B. |editor-last=Srinivasan |editor2-first=J. |editor2-last=Sally |title=Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noether's 100th Birthday |url=https://books.google.com/books?id=b7NYvQEACAAJ |date=1983 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90838-0 }}
* {{citation |first=Silviu |last=Olariu |title=Complex Numbers in N Dimensions |publisher=[[Elsevier]] |year=2002 |isbn=0-444-51123-7 |series=North-Holland Mathematics Studies |volume=190}}
* {{citation |editor-first=Irene |editor-last=Sabadini |editor2-first=Michael |editor2-last=Shapiro |editor3-first=Frank |editor3-last=Sommen |title=Hypercomplex Analysis and Applications |publisher=Birkhauser |year=2009 |isbn=978-3-7643-9892-7 }}
* {{citation |author-link=Henry Taber |first=Henry |last=Taber |title=On Hypercomplex Number Systems |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=5 |issue=4 |pages=509–548 |year=1904 |jstor=1986280}}
* {{citation |author-link=Joseph Wedderburn |first=J.H. |last=MacLagan Wedderburn |title=On Hypercomplex Numbers |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=s2-6 |issue=1 |pages=77–118 |year=1908 |doi=10.1112/plms/s2-6.1.77 |url=https://zenodo.org/record/1447798 }}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{wikibooks|Abstract Algebra|Hypercomplex numbers}}
* {{springer|title=Hypercomplex number|id=p/h048390}}
* [https://web.archive.org/web/20070130020723/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com]
* [http://hypercomplex.xpsweb.com/index.php?&lang=en Hypercomplex.info]
* {{mathworld|urlname=HypercomplexNumber|title=Hypercomplex number}}
* {{citation |url=http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/study_-_complex_numbers_and_transformation_groups.pdf |first=E. |last=Study |title=On systems of complex numbers and their application to the theory of transformation groups}} (English translation)
* {{citation |url=http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/frobenius_-_hypercomplex_i.pdf |first=G. |last=Frobenius |title=Theory of hypercomplex quantities}} (English translation)

{{Number systems}}

{{DEFAULTSORT:Hypercomplex Number}}
[[Kategori:Bilangan hiperkompleks| ]]
[[Kategori:Sejarah matematika]]
[[Kategori:Sejarah kuaternion]]