Lihat sumber Bilangan alef

{{Tanpa referensi|date=November 2021}}[[Berkas:Aleph0.svg|jmpl|ka|150px|Alef-nol (''aleph-null''), [[bilangan kardinal]] [[tak hingga|tak terhingga]] terkecil]]
'''Bilangan alef''' ({{lang-en|aleph number}}) dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).{{efn|
Dalam buku matematika lama, huruf alef dicetak terbalik secara tidak sengaja–misalnya, dalam Sierpiński (1958)<ref name=Sierpiński-1958>{{cite book |last=Sierpiński |first= Wacław |year=1958 |title=Cardinal and Ordinal Numbers |title-link=Cardinal and Ordinal Numbers |series=Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne |volume= 34 |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |place=Warsaw, PL |mr=0095787}}
</ref>{{rp|page=402}} huruf alef muncul dengan cara yang benar keatas dan terbalik–sebagian karena matriks [[monotipe]] untuk alef salah dibangun dengan posisi cara yang salah.<ref>
{{cite book
 |last1=Swanson  |first1=Ellen
 |last2=O'Sean   |first2=Arlene Ann
 |last3=Schleyer |first3=Antoinette Tingley
 |year=1999 |orig-year=1979
 |edition=updated
 |title=Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors
 |url=https://archive.org/details/mathematicsintot00swan  |publisher=[[American Mathematical Society]]
 |place=Providence, RI
 |isbn=0-8218-0053-1
 |mr=0553111
 |page=[https://archive.org/details/mathematicsintot00swan/page/n22 16]
}}
</ref>
}}

Kardinalitas [[bilangan asli]] adalah <math>\aleph_0</math> (dibaca "alef-nol" (''aleph-null''), atau kadang kala dalam [[bahasa Inggris]] juga disebut ''aleph-naught'' atau ''aleph-zero''). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (''aleph-one'') <math>\aleph_1</math>, kemudian <math>\aleph_2</math> dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu [[bilangan kardinal]] <math>\aleph_\alpha</math> untuk setiap [[bilangan ordinal]] α, sebagaimana dinyatakan dibawah.

Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]],<ref>{{cite web
 |first=Jeff |last=Miller
 |title=Earliest uses of symbols of set theory and logic
 |website=jeff560.tripod.com
 |url=http://jeff560.tripod.com/set.html
 |access-date=2016-05-05
 |postscript=;
}} who quotes
{{cite book
 |author=Dauben, Joseph Warren
 |date=1990
 |title=Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite
 |isbn=9780691024479
 |url-access=registration
 |url=https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub
 |quote=Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik. ... Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri, ia memilih alef, huruf pertama dari alfabet Ibrani ... alef dapat dianggap mewakili awal yang baru ...
}}</ref> yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Bilangan alef berbeda dari [[Tak hingga|tak-hingga]] (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan [[kalkulus]]. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai [[limit (matematika)|limit]] ekstrim dari [[garis bilangan real]] (diterapkan ke [[fungsi (matematika)|fungsi]] atau [[urutan (matematika)|urutan]] yang "[[deret divergen|divergen]] ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari [[garis bilangan real diperluas]].

== Alef-nol ==
<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak hingga"]]. Himpunan semua [[bilangan ordinal]] finit, dinamakan '''ω''' atau '''ω<sub>0</sub>''', mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math>. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math> [[jika dan hanya jika]] bilangan itu [[terhitung sebagai tak hingga]], yaitu, ada [[bijeksi]] (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan tersebut adalah:

* himpunan semua bilangan [[pangkat dua|kuadrat]], himpunan semua bilangan [[Pangkat tiga|kubik]], himpunan semua bilangan [[eksponen|pangkat empat]], ...
* himpunan semua [[eksponen|pangkat sempurna]], himpunan semua [[eksponen|pangkat prima]],
* himpunan semua [[bilangan genap]], himpunan semua [[bilangan ganjil]],
* himpunan semua [[bilangan prima]], himpunan semua [[bilangan komposit]],
* himpunan semua [[bilangan bulat]],
* himpunan semua [[bilangan rasional]],
* himpunan semua [[bilangan aljabar]],
* himpunan semua [[bilangan komputabel]],
* himpunan semua [[bilangan definabel]],
* himpunan semua [[string (ilmu komputer)|string]] [[biner]] dengan panjang hingga, dan
* himpunan semua [[himpunan bagian]] hingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak hingga.

Ordinal tak hingga ini: <math>\,\omega\;,</math> <math>\,\omega+1\;,</math> <math>\,\omega\,\cdot2\,,\,</math> <math>\,\omega^{2}\,,</math> <math>\,\omega^{\omega}\,</math> dan [[Bilangan Epsilon|ε<math>\,\varepsilon_{0}\,</math>]] adalah salah satu [[Himpunan takhingga|himpunan tak hingga]] yang terhitung.<ref>{{Citation | last1=Jech | first1=Thomas | title=Set Theory | publisher= [[Springer-Verlag]]| location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | year=2003}}</ref> Misalnya, barisan (dengan [[ordinalitas]] ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif

:{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

adalah urutan himpunan (dengan kardinalitas <math>\aleph_0</math>) dari bilangan bulat positif.

Jika [[aksioma pilihan terhitung]] (versi yang lebih lemah dari [[aksioma pilihan]]) berlaku, maka <math>\aleph_0</math> lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.

== Alef-satu ==
<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω<sub>1</sub>''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω<sub>1</sub>''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[uncountable set|himpunan tak terhitung]]. Jadi, <math>\aleph_1</math> berbeda dari <math>\aleph_0</math>. Definisi <math>\aleph_1</math> menyiratkan (dalam ZF, [[Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ''tanpa'' aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara <math>\aleph_0</math> dan <math>\aleph_1</math>.<!-- If the [[axiom of choice]] (AC) is used, it can be further proved that the class of cardinal numbers is [[totally ordered]], and thus <math>\aleph_1</math> is the second-smallest infinite cardinal number. Using AC we can show one of the most useful properties of the set '''ω<sub>1</sub>''': any countable subset of '''ω<sub>1</sub>''' has an upper bound in '''ω<sub>1</sub>'''.  (This follows from the fact that a countable union of countable sets is countable, one of the most common applications of AC.)  This fact is analogous to the situation in <math>\aleph_0</math>: every finite set of natural numbers has a maximum which is also a natural number, and [[Union (set theory)#Finite unions|finite unions]] of finite sets are finite.

'''ω<sub>1</sub>''' is actually a useful concept, if somewhat exotic-sounding. An example application is "closing" with respect to countable operations; e.g., trying to explicitly describe the [[sigma-algebra|σ-algebra]] generated by an arbitrary collection of subsets (see e.&nbsp;g. [[Borel hierarchy]]). This is harder than most explicit descriptions of "generation" in algebra ([[vector space]]s, [[group theory|group]]s, etc.) because in those cases we only have to close with respect to finite operations—sums, products, and the like. The process involves defining, for each countable ordinal, via [[transfinite induction]], a set by "throwing in" all possible countable unions and complements, and taking the union of all that over all of '''ω<sub>1</sub>'''.
-->
== Hipotesis kontinum ==
{{main|Hipotesis kontinum}}
{{see also|Bilangan beth}}
[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[cardinality of the continuum|kardinalitas continuum]]) adalah <math>2^{\aleph_0}</math>. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ([[Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo-Fraenkel]] dengan [[axiom of choice|aksioma pilihan]]) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa [[hipotesis]] kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>
<!--
CH is independent of ZFC: it can be neither proven nor disproven within the context of that axiom system (provided that ZFC is consistent). That it is consistent with ZFC was demonstrated by [[Kurt Gödel]] in 1940 when he showed that its negation is not a theorem of ZFC.  That it is independent of ZFC was demonstrated by [[Paul Cohen (mathematician)|Paul Cohen]] in 1963 when he showed, conversely, that the CH itself is not a theorem of ZFC by the (then novel) method of [[Forcing (mathematics)|forcing]].
-->
== Alef-ω ==
Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal <math>\aleph_\omega</math> merupakan batas atas terkecil dari
:<math>\left\{\,\aleph_n: n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}</math>
di antara bilangan-bilangan alef.
<!--
Aleph-ω is the first uncountable cardinal number that can be demonstrated within Zermelo–Fraenkel set theory ''not'' to be equal to the cardinality of the set of all [[real number]]s; for any positive integer n we can consistently assume that <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n</math>, and moreover it is possible to assume <math>2^{\aleph_0}</math> is as large as we like. We are only forced to avoid setting it to certain special cardinals with [[cofinality]] <math>\aleph_0</math>, meaning there is an unbounded function from <math>\aleph_0</math> to it (see [[Easton's theorem]]).
-->
== Alef-α untuk α umum ==
Untuk mendefinisikan <math>\aleph_\alpha</math> bagi bilangan ordinal sembarang <math>\alpha</math>, perlu didefinisikan [[successor cardinal|operasi kardinal penerus]], yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ{{sup|+}} berikutnya yang lebih besar dalam [[well-order|urutan teratur]] (jika [[axiom of choice|aksioma pilihan]] masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

:<math>\aleph_{0} = \omega</math>
:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis <math>\omega_\alpha</math>. Kardinalitasnya ditulis <math>\aleph_\alpha</math>. Lihat [[initial ordinal|ordinal awal]].
<!--
Dalam ZFC, fungsi <math>\aleph</math> adalah suatu [[bijection|bijeksi]] antara bilangan-bilangan ordinal dan kardinal tak terhingga.<ref>{{PlanetMath | urlname=AlephNumbers | title=aleph numbers | id=5710}}</ref>

== Titik tetap omega==
Untuk setiap ordinal α ada
:<math>\alpha\leq\omega_\alpha.</math>
Dalam banyak kasus <math>\omega_{\alpha}</math> secara sempit lebih besar dari α. Contohnya, ini benar untuk setiap ordinal penerus α.--> <!--There are, however, some limit ordinals which are [[fixed point (mathematics)|fixed point]]s of the omega function, because of the [[fixed-point lemma for normal functions]]. The first such is the limit of the sequence

:<math>\omega,\ \omega_\omega,\ \omega_{\omega_\omega},\ \ldots.</math>

Any [[inaccessible cardinal|weakly inaccessible cardinal]] is also a fixed point of the aleph function.<ref name="Harris 2009">{{cite web | url=http://kaharris.org/teaching/582/Lectures/lec31.pdf | title=Math 582 Intro to Set Theory, Lecture 31 | publisher=Department of Mathematics, University of Michigan | date=April 6, 2009 | accessdate=September 1, 2012 | author=Harris, Kenneth}}</ref> This can be shown in ZFC as follows. Suppose <math>\kappa = \aleph_\lambda</math> is a weakly inaccessible cardinal. If <math>\lambda</math> were a [[successor ordinal]], then <math>\aleph_\lambda</math> would be a [[successor cardinal]] and hence not weakly inaccessible. If <math>\lambda</math> were a [[limit ordinal]] less than <math> \kappa </math>, then its [[cofinality]] (and thus the cofinality of <math>\aleph_\lambda</math>) would be less than <math>\kappa </math> and so <math>\kappa </math> would not be regular and thus not weakly inaccessible. Thus <math>\lambda \geq \kappa </math> and consequently <math>\lambda = \kappa </math> which makes it a fixed point.
-->
== Peranan aksioma pilihan ==

Kardinalitas suatu [[bilangan ordinal]] tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah [[initial ordinal|ordinal awal]]nya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah [[equinumerous|ekuinumeral]] dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (''well-orderable'').
<!--
Each [[finite set]] is well-orderable, but does not have an aleph as its cardinality.

The assumption that the cardinality of each [[infinite set]] is an aleph number is equivalent over ZF to the existence of a well-ordering of every set, which in turn is equivalent to the [[axiom of choice]]. ZFC set theory, which includes the axiom of choice, implies that every infinite set has an aleph number as its cardinality (i.e. is equinumerous with its initial ordinal), and thus the initial ordinals of the aleph numbers serve as a class of representatives for all possible infinite cardinal numbers.

When cardinality is studied in ZF without the axiom of choice, it is no longer possible to prove that each infinite set has some aleph number as its cardinality; the sets whose cardinality is an aleph number are exactly the infinite sets that can be well-ordered. The method of [[Scott's trick]] is sometimes used as an alternative way to construct representatives for cardinal numbers in the setting of ZF.
-->
== Lihat pula ==
* [[Alef]]
* Ananta
* [[Bilangan kardinal]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Aleph-zero|id=p/a011280}}
* {{MathWorld | urlname=Aleph-0 | title=Aleph-0}}

<!-- [[he:אלף 0]]  - this article is about aleph 0 specifically, not about aleph numbers. As of 2012-9-2- there is no page on hewiki that is a suitable interwiki target for this article, see talk page. -->

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Bilangan alef}}
[[Kategori:Bilangan]]
[[Kategori:Matematika]]