Lihat sumber Bayangan (matematika)

[[Berkas:Codomain2.SVG|thumb|''<math>f</math>'' adalah fungsi yang memetakan dari domain <math>X</math> ke kodomain <math>Y</math>. Daerah lonjong yang berwarna kuning di dalam <math>Y</math>merupakan bayangan ''<math>f</math> ''.|320x320px]]{{Group theory sidebar |Dasar}}

Dalam [[matematika]], '''bayangan''' ({{Lang-en|image}}) [[Fungsi (matematika) |fungsi]] adalah himpunan dari semua nilai ''output'' (keluaran) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi <math>f</math> yang diketahui di setiap anggota subhimpunan <math>A</math> dari [[Domain fungsi|domain]]<nowiki/>nya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "'''bayangan''' ''<math>A</math>'' di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, '''prabayangan''' ({{Lang-en|preimage}}) subhimpunan <math>B</math> dari [[kodomain]] <math>f</math> adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota <math>B.</math>

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk [[relasi biner#Operasi pada relasi biner|relasi biner]].

== Definisi ==
Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, <math>f \colon X \to Y</math> menyatakan [[fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math> ke himpunan <math>Y</math>.

;Bayangan anggota
: Jika <math> x </math> anggota dari <math>X</math>, maka bayangan <math>x</math> di bawah <math>f</math>, dinotasikan <math> f(x) </math>, adalah nilai keluaran <math>f</math> untuk argumen <math>x</math>. 

;Bayangan subhimpunan
: Misalkan <math>f\colon X \rightarrow Y</math> adalah fungsi. Bayangan di bawah <math>f</math> dari subhimpunan <math>A \subseteq X</math> adalah himpunan semua <math>f(a)</math> untuk <math>a\in A</math>, diberi notasi <math>f[A]</math>. Definisi ini dapat ditulis menggunakan [[notasi ungkapan himpunan]], yaitu:<ref>{{Cite web|date=2019-11-05| title=5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets| url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets| access-date=2020-08-28| website=Mathematics LibreTexts| language=en}}</ref><ref>{{cite book| author=Paul R. Halmos| title=Naive Set Theory| location=Princeton| publisher=Nostrand| year=1968 }} Bagian 8</ref><math display="block">f[A] = \{ f(x) \mid x \in A \}.</math>Dengan demikian, akan menyebabkan <math>f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y),</math> dengan <math>\mathcal P(S)</math> menyatakan [[himpunan kuasa]] dari himpunan <math>S</math>, himpunan yang mengandung semua [[subhimpunan]] <math>S</math>. Lihat {{Section link||Notasi}} di bawah.

;Bayangan fungsi
: Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh [[domain fungsi|daerah asal]] fungsi, atau dikenal sebagai [[Kisaran fungsi|''range'']] fungsi.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Image|url=https://mathworld.wolfram.com/Image.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai [[kodomain]] <math>f</math>.

;Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
: Jika <math>R</math> menyatakan sebarang [[relasi biner]] di [[perkalian Cartesius]] <math>X</math> dan <math>Y</math>, dinotasikan <math>X \times Y</math>, maka himpunan <math>\{y \in Y \mid xRy \text{ untuk beberapa } x \in X \}</math> disebut bayangan atau ''range'' <math> R </math>. Himpunan <math>\{x \in X \mid xRy \text{ untuk beberapa } y \in Y \}</math> disebut daerah asal <math>R</math>.

== Prabayangan fungsi ==
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi yang dipetakan dari <math>X</math> ke <math>Y.</math> '''Prabayangan''' dari hmpunan <math>B \subseteq Y</math> di bawah <math>f,</math> diberi notasi <math>f^{-1}[B],</math> adalah subhimpunan <math>X</math> yang didefinisikan dengan<math display="block">f^{-1}[ B ] = \{ x \in X \,:\, f(x) \in B \}.</math>Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti <math>f^{-1}(B)</math> dan <math>f^{-}(B).</math>{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=4-5}} Prabayangan fungsi dari [[Singleton (matematika)|himpunan singleton]], yang dilambangkan dengan <math>f^{-1}[\{ y \}]</math> atau <math>f^{-1}[y],</math> juga disebut sebagai [[Fiber (matematika)|fiber]], atau fiber atas <math>y</math>, atau [[himpunan aras]] dari <math>y.</math> Himpunan dari semua fiber atas anggota <math>Y</math> merupakan keluarga himpunan dengan indeks <math>Y.</math>

==<span id="Notasi">Notasi</span> untuk bayangan dan prabayangan==
Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan.<!--kenapa?--> Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit {{sfn|Blyth|2005|p=5}} untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
;Notasi panah
: <math>f^\rightarrow:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> dengan <math>f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}</math>
: <math>f^\leftarrow:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> dengan <math>f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}</math>
;Notasi bintang
: <math>f_\star:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> sebagai pengganti <math>f^\rightarrow</math>
: <math>f^\star:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> sebagai pengganti <math>f^\leftarrow</math>
;Notasi lain
: Notasi lain untuk <math>f[A]</math> yang digunakan dalam [[logika matematika]] dan [[teori himpunan]] adalah '<math>f^{\prime\prime} A</math>.<ref>{{cite book| title=Set Theory for the Mathematician | url=https://archive.org/details/settheoryformath0000rubi | url-access=registration | author=Jean E. Rubin |authorlink= Jean E. Rubin |page=xix | year=1967 |publisher=Holden-Day |asin=B0006BQH7S}}</ref><ref>M. Randall Holmes: [https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180207010648/https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf |date=2018-02-07 }}, 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2</ref><!--== Contoh == # ''f'': {1, 2, 3} → {''a, b, c, d''} didefinisikan oleh <math>     f(x) = \left\{\begin{matrix}       a, & \mbox{if }x=1 \\       a, & \mbox{if }x=2 \\       c, & \mbox{if }x=3.     \end{matrix}\right.   </math>{{paragraph break}} ''Citra'' dari himpunan {2, 3} di bawah ''f'' adalah ''f''({2, 3}) = {''a, c''}.  ''Citra'' fungsi ''f'' adalah {''a, c''}. ''Pracitra'' dari ''a'' adalah ''f''<sup>&nbsp;−1</sup>({''a''}) = {1, 2}. ''Pracitra'' dari {''a, b''} juga merupakan {1, 2}.  Pracitra dari {''b'', ''d''} merupakan [[himpunan kosong]] {}. # ''f'': '''R''' → '''R''' didefinisikan oleh ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>.{{paragraph break}} ''Citra'' dari {−2, 3} di bawah ''f'' merupakan ''f''({−2, 3}) = {4, 9}, dan ''citra'' dari ''f'' adalah '''R<sup>+</sup>'''. ''Pracitra'' dari {4, 9} di bawah ''f'' adalah ''f''<sup>&nbsp;−1</sup>({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Pracitra dari himpunan ''N'' = {''n'' ∈ '''R''' | ''n'' < 0} di bawah'' f '' adalah himpunan kosong, karena bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat di himpunan real. # ''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R''' defined by ''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>.{{paragraph break}} ''[[Serat (matematika)|Serat]]'' ''f''<sup>&nbsp;−1</sup>({''a''}) adalah [[lingkaran konsentrik]] mengenai [[asal (matematika) |asal]], asalnya itu sendiri, dan [[himpunan kosong]], tergantung pada apakah masing-masing, ''a'' > 0, ''a'' = 0, or ''a'' < 0. # Jika ''M'' adalah [[manifold]] dan ''π'': ''TM'' → ''M'' adalah kanonik [[proyeksi (matematika) |proyeksi]] dari [[bundel tangen]] '' TM '' menjadi '' M '', maka '' serat '' dari '' π '' adalah [[ruang tangen]] ''T''<sub>''x''</sub>(''M'') for ''x'' ∈ ''M''. Ini juga merupakan contoh dari [[bundel serat]]. # Kelompok hasil bagi adalah gambar homomorfik. --> <br />
== Sifat-sifat ==
{{See also|Aljabar himpunan#Himpunan dan peta}}
{{multiple image
| direction         = vertical
| header            = Contoh lawan yang didasari pada [[bilangan real]] <math>\R</math>, <math>f\colon \R \to \R</math> yang didefinisikan dengan <math>x\mapsto x^2</math>, menunjukkan bahwa persamaan tak harus berlaku untuk beberapa hukum:
| total_width       = 400
| image1            = Image preimage conterexample intersection.gif
| caption1          = Bayangan yang memperlihatkan himpunan tak sama: <math>f\left(A \cap B\right) \subsetneq f(A) \cap f(B).</math> Himpunan <math>A = [-4, 2]</math> dan <math>B = [-2, 4]</math> diperlihatkan dengan garis berwarna {{color|blue|biru}} di bawah sumbu-<math>x</math>, sedangkan irisan dari <math>A_3 = [-2, 2]</math> diperlihatkan dengan daerah berwarna {{color|green|hijau}}.
| image2            = Image preimage conterexample bf.gif
| caption2          = <math>f(f^{-1}(B^3) \subsetneq B^3</math>
| image3            = Image preimage conterexample fb.gif
| caption3          = <math>f^{-1}(f(A^4)) \supsetneq A^4</math>
}}

=== Sifat-sifat umum ===

Untuk setiap fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan semua himpunan bagian <math>A \subseteq X</math> and <math>B \subseteq Y</math>, berlaku sifat-sifat berikut:

{| class="wikitable"
|-
! Bayangan
! Prabayangan
|-
|<math>f(X) \subseteq Y</math>
|<math>f^{-1}(Y) = X</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(Y)) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(f(X)) = X</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(B)) \subseteq B</math> (adalah sama jika <math>B \subseteq f(X)</math>, sebagai contoh, jika <math> f </math> surjektif)<ref name="halmos-1960-p39">See {{harvnb|Halmos|1960|p=39}}</ref><ref name="munkres-2000-p19">{{harvnb|Munkres|2000|p=19}}</ref>
|<math>f^{-1}(f(A)) \supseteq A</math> (adalah sama jika <math>f</math> injektif)<ref name="halmos-1960-p39"/><ref name="munkres-2000-p19" />
|-
|<math>f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)</math>
|<math>(f \vert_A)^{-1}(B) = A \cap f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f(f^{-1}(f(A))) = f(A)</math>
|<math>f^{-1}(f(f^{-1}(B))) = f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f(A) = \varnothing </math> jika dan hanya jika <math>A = \varnothing</math>
|<math>f^{-1}(B) = \varnothing</math> jika dan hanya jika <math>B \subseteq Y \setminus f(X)</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq B </math> jika dan hanya jika terdapat <math>C \subseteq A</math> sehingga <math>f(C) = B</math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq A</math> jika dan hanya jika <math>f(A) \subseteq B</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq f(X \setminus A)</math> jika dan hanya jika <math>f(A) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq f^{-1}(Y \setminus B)</math> jika dan hanya jika <math>f^{-1}(B) = X</math>
|-
|<math>f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)</math>
|<math>f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)</math><ref name="halmos-1960-p39" />
|-
|<math>f(A \cup f^{-1}(B)) \subseteq f(A) \cup B</math><ref name="lee-2010-p388">Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388</ref>
|<math>f^{-1}(f(A) \cup B) \supseteq A \cup f^{-1}(B)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|-
|<math>f(A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B</math><ref name="lee-2010-p388" />
|<math>f^{-1}(f(A) \cap B) \supseteq A \cap f^{-1}(B)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|}

Juga:

* <math>f(A) \cap B = \varnothing</math> jika dan hanya jika <math>A \cap f^{-1}(B) = \varnothing</math>

=== Fungsi banyak ===

Untuk fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan <math>g : Y \rightarrow Z</math> dengan subhimpunan <math>A \subseteq X</math> dan <math>C \subseteq Z</math>, berlaku sifat-sifat berikut:

* <math>(g \circ f)(A) = g(f(A))</math>
* <math>(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))</math>

=== Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak ===

Untuk fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan subhimpunan <math>A_1,A_2 \subseteq X</math> and <math>B_1,B_2 \subseteq Y</math>, berlaku sifat-sifat berikut:
{| class="wikitable"
|-
! Bayangan
! Prabayangan
|-
|<math>A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow f(A_1) \subseteq f(A_2) </math>
|<math>B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2) </math>
|-
|<math>f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)</math><ref name="lee-2010-p388" /><ref name="kelley-1985">{{harvnb|Kelley|1985|p=85}}</ref>
|<math>f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)</math>
|-
|<math>f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)</math><ref name="lee-2010-p388" /><ref name="kelley-1985" /><br>(adalah sama jika <math>f</math> injektif<ref name="munkres-2000-p21">{{harvnb|Munkres|2000|p=21}}</ref>)
|<math>f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)</math>
|-
|<math>f(A_1 \setminus A_2) \supseteq f(A_1) \setminus f(A_2)</math><ref name="lee-2010-p388" /><br>(adalah sama jika <math>f</math> injektif<ref name="munkres-2000-p21" />)
|<math>f^{-1}(B_1 \setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|-
|<math>f(A_1 \triangle A_2) \supseteq f(A_1) \triangle f(A_2)</math><br>(adalah sama jika <math>f</math> injektif)
|<math>f^{-1}(B_1 \triangle B_2) = f^{-1}(B_1) \triangle f^{-1}(B_2)</math>
|}

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] ([[Aljabar Boole (struktur)|Boole]]) untuk setiap koleksi subhimpunan:

* <math>f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
<math>S</math> dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan [[Himpunan tak terhitung|tak terhitung]].)

Fungsi bayangan invers adalah [[homomorfisme kekisi]] terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme [[semikekisi]] (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

== Lihat pula ==
* [[Kernel (teori himpunan)|Kernel fungsi]]
* [[Inversi himpunan]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{Cite book | last= Artin | first= Michael |authorlink=Michael Artin | title= Algebra | url= https://archive.org/details/algebra0000arti_x4a1 | edition=| year=1991 | publisher=Prentice Hall| isbn= 81-203-0871-9 }}
* {{cite book |first=T.S. |last=Blyth |title=Lattices and Ordered Algebraic Structures |publisher= Springer |year= 2005 |isbn=1-85233-905-5}}.
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}} <!-- {{sfn | Dolecki | 2016 | p=}} -->
* {{cite book | last = Halmos | first = Paul R. | author-link = Paul Halmos | title = Naive set theory | url = https://archive.org/details/naivesettheory0000halm | url-access = registration | series = The University Series in Undergraduate Mathematics | publisher = van Nostrand Company | year = 1960 | zbl = 0087.04403}}

* {{cite book |last1=Kelley |first1=John L. |authorlink1= |title=General Topology |url= |edition=2 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=27 |year=1985 |publisher=Birkhäuser |location= |isbn=978-0-387-90125-1 |id= }}
* {{Munkres Topology|edition=2}} <!-- {{sfn | Munkres | 2000 | p=}} -->
[[Kategori:Konsep dasar dalam teori himpunan]]
[[Kategori:Teorema isomorfisme]]