Lihat sumber Barisan dan deret geometri

'''Barisan dan deret geometri''' atau dikenal sebagai '''barisan dan deret ukur''' dalam bidang [[matematika]] adalah jenis [[barisan]] dan [[Deret (matematika)|deret]] di mana [[bilangan]] berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan [[rasio]] tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.<ref name=":0">Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 10.</ref>

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

:<math>a</math>, <math>ar</math>, <math>ar^2</math>, <math>ar^3</math>, <math>\dots</math>

dengan <math>r</math> adalah bilangan rasio pengali (<math>r \ne 0</math>) dan <math>a</math> adalah faktor skala.

== Suku barisan geometri ==
Misal <math>a_n</math> adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai
:<math>a_n = ar^{n-1}</math>

{{collapse top|title=Bukti}}
Kita misalkan <math>a_1 = a</math>, dan <math>a_2 = ar</math>. Kita teruskan untuk <math>a_3,a_4,\dots</math>.
:<math>\begin{align}
a_3 &= ar^2 \\
a_4 &= ar^3 \\
a_5 &= ar^4 \\
 &\vdots
\end{align}</math>
Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu
:<math>a_n = ar^{n-1}</math>.<ref name=":0"/>
{{collapse bottom}}

Lebih umumnya, diberikan <math>n > m</math> dan misal suku awal adalah <math>a_m</math>. Dari hasil di atas, diperoleh

:<math>a_m = ar^{m-1}</math>

dan

:<math>a_n =  ar^{n-1} = ar^{m-1}r^{n-m} = a_m r^{n-m}</math>.<ref name=":0"/>

=== Rasio ===
Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

:<math>r = \frac{a_{n+1}}{a_n}</math>.

=== Suku tengah ===
:<math>a_\frac{m+n}{2} = \sqrt{a_m a_n}</math>

== Deret geometri ==
Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

:<math>S_n = \begin{cases} \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, & \text{jika }r > 1 \\ \frac{a(1-r^n)}{1-r}, & \text{jika }r < 1 \end{cases}</math>

dengan <math>S_n</math> adalah deret geometri, dan <math>a</math> adalah suku pertama.

{{collapse top|title=Bukti deret geometri}}
Kita mulai dari kasus di mana <math>r < 1</math>{{NumBlk|::|<math>S_n = a + a\,r^1 + a\,r^2 + \cdots +  a\,r^{n-2} + a\,r^{n-1}</math>|{{EquationRef|1}}}}Dengan mengalikan kedua ruas dengan <math>r</math> memperoleh persamaan baru.{{NumBlk|::|<math>r S_n = ar^1 + ar^2 + ar^3 + \cdots +  ar^{n-1} + ar^n</math>|{{EquationRef|2}}}} Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan
:<math>S_n - rS_n = a - ar^n </math>
Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan <math>(1 - r)</math> membuktikan bahwa
:<math>S_n = \frac{a(1-r^n)}{1 - r}</math>.<ref name=":1">Drs. Win Konadi, M.Si, ''[https://winalmuslim.files.wordpress.com/2017/12/materi-2-barisan-deret-geometri.pdf Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal]''</ref>
Cara yang serupa untuk kasus <math>r > 1</math>. <math>\blacksquare</math>
{{collapse bottom}}

Jika <math>r=1</math>, maka deret geometri didapati

:<math>S_n = na</math>.<ref name=":1"/>

=== Deret geometri takhingga ===
{{Main article|Deret geometrik}}[[Berkas:Geometric progression convergence diagram.svg|jmpl|350px|Diagram yang menunjukkan jumlah <math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots</math> adalah mendekati <math>2</math>.]]Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan
:<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} </math>
untuk <math>|r| < 1</math>. Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah <math>a = 1</math> serta <math>r = \frac{1}{2}</math>. Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

:<math>S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2-1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2</math>.

{{collapse top|title=Bukti deret geometri, kasus <math> |r| < 1 </math>}}
[[Berkas:Infinite_geometric_series_sum.svg|ka|350x350px|Visualisasi yang menunjukkan cara lain untuk membuktikan deret geometri.]]Karena <math>S_n = \sum_{i=1}^n ar^{i-1}</math>, maka diperoleh

:<math>S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}</math>.

Ambil <math>n \to \infty</math> pada kedua ruas, diperoleh

:<math>\begin{align}
S_\infty &= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\
 &= \frac{a}{1 - r} \lim_{n \to \infty} (1 - r^n)
\end{align}</math>

Karena diketahui <math>|r| < 1</math>, maka <math> \lim_{n \to \infty} 1 - r^n = 1 </math>. Karena itu,

:<math>S_\infty = \frac{a}{1-r}</math>. <math>\blacksquare</math><ref>Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 12–13.</ref>
{{collapse bottom}}

Untuk kasus <math>r > 1</math>, <math>S_\infty</math> tidak mempunyai hasil (karena bernilai <math>\pm \infty</math>) sehingga deretnya dapat dikatakan [[Deret divergen|divergen]].<ref>Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 12.</ref><ref>H. Karso, ''[http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021-KARSO/ALJABAR_SMA_2.pdf Barisan dan Deret]'', hlm. 14.</ref>

== Barisan dan deret geometri bertingkat ==
{{Sect-stub}}
: Jika bertingkat 2: <math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math>
: Jika bertingkat 3: <math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math>
dst

== Lihat pula ==
* [[Barisan]]
* [[Deret (matematika)]]
* [[Barisan dan deret aritmetika]]
* [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯]], salah satu bentuk deret

== Referensi ==
<references />

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-505-X }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-568-8 }} {{id icon}}

{{Deret (matematika)}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Geometri]]