Lihat sumber Barisan aritmetika-geometrik

{{Bedakan|Rata-rata aritmetika–geometrik}}
{{Kalkulus|expanded=deret}}
{{Periksa terjemahan|en|Arithmetico-geometric sequence}}

Dalam [[matematika]], '''barisan aritmetika-geometrik''' adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada [[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmetika]] dengan suku [[Barisan dan deret geometri|barisan geometri]] yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-<math>n</math> dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-<math>n</math> dari barisan aritmetika dengan suku ke-<math>n</math> dari barisan geometrik.<ref>{{Cite web
| title              = Arithmetic-Geometric Progression
| trans-title        = Barisan Aritmetika-Geometrik
| url                = https://brilliant.org/wiki/arithmetic-geometric-progression/
| access-date        = 2021-04-21
| website            = brilliant.org
| language           = en}}</ref> Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan [[nilai harapan]] dalam [[teori peluang]].

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum
:<math>u_{n + 1} = r \, u_n + cr^n</math>
untuk suatu nilai <math>c</math> dan <math>r</math>. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari [[Relasi perulangan dengan koefisien konstan|relasi perulangan linier]].
* Jika <math>r = 1</math>, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
* Jika <math>c = 0</math>, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

== Suku barisan ==

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna <span style="color:blue;">biru</span> menyatakan [[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmetika]] dengan nilai awal <math>a</math> dan beda <math>b</math>, dan bagian yang berwarna <span style="color:red;">merah</span> menyatakan [[Barisan dan deret geometri|barisan geometri]] dengan nilai awal <math>k</math> dan rasio <math>r</math>. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:<ref name="RHB118">{{cite book
| author1            = K. F. Riley
| author2            = M. P. Hobson
| author3            = S. J. Bence
| title              = Mathematical methods for physics and engineering
| trans-title        = Metode matematis untuk fisika dan teknik
| lang               = en
| url                = https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile
| url-access         = registration
| edition            = 3rd
| year               = 2010
| page               = [https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile/page/118 118]
| publisher          = Cambridge University Press
| isbn               = 978-0-521-86153-3}}</ref>

:<math>
\begin{align}
u_1 &= \color{blue}{a} \color{red}{k} \\
u_2 &= \color{blue}{(a + b)} \color{red}{(kr)} \\
u_3 &= \color{blue}{(a + 2b)} \color{red}{(kr^2)} \\
&\vdots \\
u_n &= \color{blue}{(a + (n - 1)b)} \color{red}{(kr^{n - 1})}
\end{align}
</math>

=== Contoh ===
Sebagai contoh, barisan

:<math>\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{red}{2}}, \, \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{red}{4}}, \, \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{red}{8}}, \, \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{red}{16}}, \, \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{red}{32}}, \ldots </math>

dapat dikonstruksikan dengan memilih <math>\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math> dan <math>\begin{bmatrix} k \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}</math>.

== Jumlahan berhingga ==
Jumlahan <math>n</math> suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki [[ekspresi bentuk tertutup|bentuk tertutup]]
:<math>\begin{align}
S_n &= \frac{ak - (a + nd) \, kr^n}{1 - r} + \frac{dbr \, (1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
&= \frac{A_1 G_1 - A_{n+1} G_{n+1}}{1 - r} + \frac{dr}{(1-r)^2} \, (G_1 - G_{n + 1}).
\end{align}</math>

=== Bukti ===
==== Deret Teleskopik ====
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan <math>S_n</math>, dengan indeks <math>n</math> menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi <math>A_n</math> untuk menyatakan suku ke-<math>n</math> dari barisan aritmetika, dan notasi <math>G_n</math> untuk menyatakan suku ke-<math>n</math> dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa <math>A_i = A_{i - 1} + b</math> dan <math>G_i = r \, G_{i - 1}</math>, perhatikan bahwa
:<math>\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}
S_n & = & A_1 \, G_1 & + & A_2 \, G_2 & + & A_3 \, G_3 & + & \ldots & + & A_n \, G_n & & & \\
r S_n & = & \phantom{A_1 \, G_1} & + & A_1 \, G_2 & + & A_2 \, G_3 & + & \ldots & + & A_{n - 1} \, G_n & + & A_n \, G_{n + 1} & - \\
\hline
(1 - r) \, S_n & = & A_1 \, G_1 & + & b \, G_2 & + & b \, G_3 & + & \ldots & + & b \, G_n & - & A_n \, G_{n + 1} & \\
\end{array}</math>

Sehingga diperoleh
:<math>\begin{align}
(1 - r) \, S_n &= A_1 \, G_1 + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n - A_n \, G_{n + 1} \\
&= A_1 \, G_1 - A_n \, G_{n + 1} + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n \\
&= A_1 \, G_1 - A_n \, G_{n + 1} - b \, G_{n + 1} + b \, G_2 + b \, G_3 + \, \ldots \, + b \, G_n + b \, G_{n + 1} \\
&= A_1 \, G_1 - \left( A_n + b \right) \, G_{n + 1} + b \left( G_2 + G_3 + \, \ldots \, + G_n + G_{n + 1} \right) \\
&= A_1 \, G_1 - A_{n + 1} \, G_{n + 1} + b \cdot \frac{G_2 - G_{n + 2}}{1 - r} \\
S_n &= \frac{A_1 \, G_1 - A_{n + 1} \, G_{n + 1}}{1 - r} + \frac{br}{(1 - r)^2} \left( G_1 - G_{n + 1} \right)
\end{align}</math>

Oleh karena <math>A_n = a + (n - 1)b</math> dan <math>G_n = kr^{n - 1}</math>, maka rumus <math>S_n</math> di atas dapat ditulis ulang sebagai
:<math>S_n = \frac{ak - (a + nb)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2}</math>

==== Penjabaran Langsung ====
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan <math>S_n</math>, dengan indeks <math>n</math> menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa <math>S_n</math> dapat dituliskan sebagai
:{| style = "text-align:center; margin:auto"
|-
| <math>S_n</math>
| <math>=</math>
| <math>u_1</math>
| <math>+</math>
| <math>u_2</math>
| <math>+</math>
| <math>u_3</math>
| <math>+</math>
| <math>\dots</math>
| <math>+</math>
| <math>u_n</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
| <math>=</math>
| <math>ak</math>
| <math>+</math>
| <math>akr</math>
| <math>+</math>
| <math>akr^2</math>
| <math>+</math>
| <math>\dots</math>
| <math>+</math>
| <math>akr^{n - 1}</math>
|-
|
|
|
|
| <math>+</math>
|
| <math>+</math>
|
|
|
| <math>+</math>
|-
|
|
|
|
| <math>bkr</math>
| <math>+</math>
| <math>bkr^2</math>
| <math>+</math>
| <math>\dots</math>
| <math>+</math>
| <math>bkr^{n - 1}</math>
|-
|
|
|
|
|
|
| <math>+</math>
|
|
|
| <math>+</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|<math>bkr^2</math>
|<math>+</math>
|<math>\dots</math>
|<math>+</math>
|<math>bkr^{n - 1}</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|<math>+</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
| <math>\ddots</math>
|
| <math>\vdots</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| <math>+</math>
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| <math>bkr^{n - 1}</math>
|}

Dengan menuliskan <math>S_n</math> menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai <math>S_n</math> diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka

:<math display="block">\begin{align}
S_n &= ak \left( 1 + r + r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + bk \left( r + r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + bk \left( r^2 + \, \ldots \, + r^{n - 1} \right) + \, \ldots \, + bkr^{n - 1} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \cdot \frac{r - r^n}{1 - r} + bk \cdot \frac{r^2 - r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + bk \cdot \frac{r^{n - 1} - r^n}{1 - r} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^2}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + \frac{r^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^2}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \, \ldots \, + \frac{r^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} + \frac{r^n}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r + r^2 + \, \ldots \, + r^n}{1 - r} - \frac{nr^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak - akr^n}{1 - r} + bk \left( \frac{r - r^{n + 1}}{(1 - r)^2} - \frac{nr^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak}{1 - r} - \frac{(a)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} - \frac{(nb)(kr^n)}{1 - r}
\end{align}</math>

==== Kalkulus Diferensial ====
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan <math>S_n</math>, dengan indeks <math>n</math> menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan [[Kelinearan pendiferensialan|sifat linier dari turunan]], perhatikan bahwa
:<math>\begin{align}
S_n &= \sum_{i \, = \, 1}^n A_i \, G_i \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^n (a + (i - 1)b)(kr^{i - 1}) \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} (a + ib)(kr^i) \\
&= \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} akr^i + \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} ibkr^i \\
&= ak \sum_{i \, = \, 0}^{n - 1} r^i + (0)bkr^0 + \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} ibkr^i \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} ir^{i - 1} \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} \left( \frac{\text{d}}{\text{d} r} r^i \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \, \frac{\text{d}}{\text{d} r} \left( \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} r^i \right) \\
&= ak \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} + bkr \, \frac{\text{d}}{\text{d} r} \left( \frac{r}{1 - r} - \frac{r^n}{1 - r} \right) \\
&= \frac{ak - akr^n}{1 - r} + bkr \, \left( \frac{1}{(1 - r)^2} - \frac{nr^{n - 1}}{1 - r} - \frac{r^n}{(1 - r)^2} \right) \\
&= \frac{ak}{1 - r} - \frac{(a)(kr^n)}{1 - r} - \frac{(nb)(kr^n)}{1 - r} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\
\end{align}</math>
yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

== Deret takhingga ==
Jika <math>\left| r \right| < 1</math>, maka <math>r^n</math> akan mendekati <math>0</math> apabila nilai <math>n</math> cukup besar. Sehingga, nilai dari [[Deret (matematika)|deret]] aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan <math>S</math>) ialah<ref name="RHB118"/>
:<math>\begin{align}
S &= \sum_{i \, = \, 1}^\infty u_i \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} \sum_{i \, = \, 1}^\infty u_i \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} S_n \\
&= \lim_{n \, \to \, \infty} \frac{ak}{1 - r} - \underbrace{\frac{(a + nb)(kr^n)}{1 - r}}_{\text{mendekati } 0} + \frac{bkr(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\
&= \frac{ak}{1 - r} + \frac{bkr}{(1 - r)^2} \\
&= \frac{A_1 \, G_1}{1 - r} + \frac{br}{(1 - r)^2} \, G_1
\end{align}</math>

Jika <math>r</math> berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk
* [[Deret divergen]] menuju <math>\pm \infty</math>, saat <math>r > 1</math>, atau saat <math>r = 1</math> (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta <math>a \neq 0</math> dan <math>b \cdot k \neq 0</math>
** Jika <math>a = 0</math> dan <math>b \cdot k = 0</math>, semua nilai suku nya akan menjadi <math>0</math>, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
* [[Deret selang-seling]], saat nilai <math>r \leq -1</math>

=== Tangga Jibril ===
Jika <math>A_n = n</math> dan <math>k = 1</math>, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan ''tangga Jibril'':<ref name="Swain2018">{{cite journal
| last1          = Swain
| first1         = Stuart G.
| title          = Proof Without Words: Gabriel's Staircase
| trans-title    = Bukti Tanpa Kata: Tangga Jibril
| lang           = en
| journal        = Mathematics Magazine
| volume         = 67
| issue          = 3
| year           = 2018
| pages          = 209–209
| issn           = 0025-570X
| url            = https://maa.org/sites/default/files/Swain61227118.pdf
| doi            = 10.1080/0025570X.1994.11996214}}</ref><ref name="Edgar2018">{{cite journal
| last1          = Edgar
| first1         = Tom
| title          = Staircase Series
| trans-title    = Deret Tangga
| lang           = en
| journal        = Mathematics Magazine
| volume         = 91
| issue          = 2
| year           = 2018
| pages          = 92–95
| issn           = 0025-570X
| doi            = 10.1080/0025570X.2017.1415584}}</ref>

:<math>\sum_{i \, = \, 1}^{\infty} ir^i = \frac{r}{(1 - r)^2} \qquad \text{dengan } \, 0 < r < 1</math>

=== Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan ===
Saat suatu [[koin adil]] dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah <math>\dfrac{1}{2}</math>. Apabila <math>P(X = k)</math> menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah <math>k</math> lemparan, maka diperoleh
:<math>\begin{align}
P(X = k) &= \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \left( \frac{1}{2} \right)^k
\end{align}</math>

{{collapse top|title=Penjelasan}}
Karena <math>L_k</math> menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah <math>k</math> lemparan, maka lemparan pertama sampai lemparan ke-<math>(k - 1)</math> haruslah muncul "angka". Oleh karena lemparan koin bersifat [[saling bebas]], maka rumus peluang [[koin adil]] yang dilempar adalah <math>\left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1}</math>.

Dikarenakan lemparan terakhir haruslah muncul "gambar", maka rumus peluangnya harus dikalikan dengan peluang munculnya "gambar", sehingga didapatkan
:<math>\begin{align}
P(X = k) &= \left( \frac{1}{2} \right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \left( \frac{1}{2} \right)^k
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}

Dengan menggunakan rumus di atas, maka [[nilai harapan|ekspektasi]] banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan
:<math>E(X) = \sum_{k \, = \, 1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + \ldots</math>

yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan <math>\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math> dan <math>\begin{bmatrix} k \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}</math>. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke <math>E(X) = 2</math>

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan lanjutan ==
* {{cite book
| title            = The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)
| trans-title      = Panduan Matematika dari Pearson untuk Seleksi Bersama Masuk Institut Teknologi India, 2/e (Edisi Baru)
| lang             = en
| author           = D. Khattar
| publisher        = Pearson Education India
| page             = 10.8
| isbn             = 81-317-2876-5
| url              = https://books.google.com/books?id=5OffscY1FGYC&pg=SA10-PA8}}
* {{cite book
| title            = Comprehensive Mathematics XI
| trans-title      = Matematika Komprehensif XI
| lang             = en
| author           = P. Gupta
| publisher        = Laxmi Publications
| page             = 380
| isbn             = 81-7008-597-7
| url              = https://books.google.com/books?id=rQtlgvS598MC&pg=PA380}}

{{Topik kalkulus}}
{{DEFAULTSORT:Barisan aritmetika-geometrik}}

[[Kategori:Barisan bilangan bulat]]
[[Kategori:Deret matematika]]