Lihat sumber Barisan

[[Berkas:First six triangular numbers.svg|jmpl|231x231px|[[Bilangan segitiga]] membentuk barisan <math display="inline">\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=(1, 3, 6, 10, 15, 21, ...)</math>]]
Dalam [[matematika]], '''barisan'''<ref>{{Cite book|last=Kerami|first=Djari|last2=Sitanggang|first2=Cormentya|date=2003|title=Kamus Matematika|location=Jakarta|publisher=Balai Pustaka|url-status=live}}</ref> (atau '''banjar'''<ref>{{Cite book|last=Panggabean|first=A.B|date=2014|title=Kalkulus Tingkat Lanjut|location=Yogyakarta|publisher=Graha Ilmu|isbn=978-602-262-264-2|url-status=live}}</ref>'','' atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan [[Deret (matematika)|'''deret''']])  secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, [[Fungsi (matematika)|fungsi]], [[Variabel acak|peubah acak]], dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu.<ref>{{Cite book|last=Spiegel|first=Murray R.|date=1986|url=http://worldcat.org/oclc/975000500|title=Teori dan soal-soal matematika dasar|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=Drs. Kasir Iskandar, M.Sc.|oclc=975000500|url-status=live}}</ref> Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu.<ref>{{Cite book|last=Kulpers|first=L.|last2=Meulenbeld|first2=R.|last3=Rawuh|date=1973|title=Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA|location=Jakarta|publisher=Pradnya Paramita|url-status=live}}</ref> Benda dengan indeks ''i'' disebut ''suku ke-i''. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut ''panjang'' barisan.

Berbeda dengan [[Himpunan (matematika)|himpunan]], urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] dengan daerah asalnya adalah [[bilangan asli]].<ref>{{Cite book|last=Afidah Khairunnisa|date=2018|url=https://scholar.google.co.id/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=aX8YzqsAAAAJ&citation_for_view=aX8YzqsAAAAJ:roLk4NBRz8UC|title=Matematika Dasar|location=Depok|publisher=Rajawali Pers|isbn=978-979-769-764-8|url-status=live}}</ref>

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti [[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmatika]] dan [[Barisan dan deret geometri|barisan geometri]], atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] dan barisan [[bilangan prima]]. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

== Penulisan barisan ==
Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang ''berbaris''. Masing-masing anggota barisan disebut ''suku'' dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang <math>u_n</math>, yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni <math>1</math> dikaitkan dengan <math>u_1</math>, <math>2</math> dikaitkan dengan <math>u_2
</math>, dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli <math>U:\mathbb{N}\to K</math> untuk sebarang himpunan <math>K</math> dengan nilai <math>U(n)=u_n</math>.<ref name=":0" /> Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang <math>U</math> atau <math>(u_n)</math> atau <math display="inline">(u_n\mid n\in\mathbb{N})</math><ref>{{Cite book|last=Endang Cahya|last2=Makbul Muksar|date=2011|title=Analisis Real|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-979-011-674-0|url-status=live}}</ref> atau <math>\langle u_n\rangle</math>.<ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|first=|date=2016|title=Pengantar Analisis Real|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=978-602-7861-58-9|url-status=live}}</ref>

== Penentuan barisan ==
Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

* mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
* menyuratkan rumus suku umumnya,
* [[relasi perulangan]]
* menerangkannya dengan kalimat.

=== Mendaftarkan suku-sukunya ===
[[Berkas:Lagrange polynomials for continuations of sequence 1,2,3.gif|jmpl|301x301px|Sepuluh rumus barisan dengan suku awal <math>(1,2,3...)</math> dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan [[Interpolasi (matematika)|interpolasi sukubanyak Lagrange]].]]
Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai <math display="inline">(3,10,17,24,31)</math>. Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti <math>(u_1, u_2, u_3,...,u_n)</math>. Jika barisan itu [[tak hingga]], biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan  <math>(2, 4, 6, 8 ,...)</math> yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan <math>(1,2,3...)</math> adalah barisan bilangan asli <math>(1,2,3,4,5,6.7...)</math>. Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan <math>(1,2,3,1,-7,-24,-53,...)</math>. Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu <math display="inline">(3,1,4,1,5,...)</math> Antara dugaan yang mungkin adalah <math display="inline">(3,1,4,1,5,1,6,7,...)</math>. Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit [[pi]], yaitu <math display="inline">(3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)</math>. Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

=== Menyuratkan rumus suku umumnya ===
Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

* barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai <math display="inline">a_n=\frac{1}{n^2}</math>,
* barisan [[Barisan tanda]] dirumuskan sebagai <math>a_n=(-1)^n</math>.
* '''[[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmatika]]''' dengan suku awal <math>a</math> dan beda dua suku berurutan <math>b</math> dirumuskan sebagai <math>a_n=a+(n-1)b</math>,
* '''[[Barisan dan deret geometri|barisan geometri]]''' dengan suku awal <math>a</math> dan perbandingan dua suku berurutan <math>r</math> dirumuskan sebagai <math>a_n=ar^{n-1}</math>.

=== Relasi perulangan ===
[[Berkas:Fibonacci Spiral.svg|jmpl|Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)]]
Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] <math>a_n = a_{n-1} + a_{n-2},</math> dengan syarat awal <math>a_0 = 0</math> dan <math>a_1=1.</math> Juga [[barisan Recamán]] yang didefinisikan dengan<math display=block>\begin{cases}a_n = a_{n-1} - n,\quad \text{jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,}\\a_n = a_{n-1} + n, \quad\text{selainnya},
\end{cases}</math>Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu <math>a_n = a_{n-1} + b,\ a_1=a</math>. untuk barisan aritmatika, dan <math>a_n = ra_{n-1},\ a_1=a</math> untuk barisan geometri.

== Penerapan barisan ==
Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian [[Fungsi (matematika)|fungsi]],<ref name=":0">{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2015|title=Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik|location=Jakarta|publisher=Erlangga|isbn=978-602-298-591-4|url-status=live}}</ref> [[Ruang (matematika)|ruang]], dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian [[analisis matematis]], seperti pengertian [[limit fungsi]], pengertian [[turunan]], dan pengertian [[Integral Riemann|integral Riemman]].

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah [[pencacahan]].

== Sifat barisan ==

=== Kemonotonan barisan ===
Suatu barisan dikatakan:

* ''monoton naik'' apabila untuk sebarang bilangan bulat <math>n</math> berlaku <math>a_n\leq a_{n+1}</math>, 
* ''monoton naik sejati'' apabila untuk sebarang bilangan bulat <math>n</math> berlaku ''<math>a_n< a_{n+1}</math>,'' 
* ''monoton turun'' apabila untuk sebarang bilangan bulat <math>n</math> berlaku <math>a_n\geq a_{n+1}</math>, 
* ''monoton turun sejati'' apabila untuk sebarang bilangan bulat <math>n</math> berlaku ''<math>a_n> a_{n+1}</math>,''

=== Barisan terbatas ===
Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai <math>A</math> sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku <math>u_n<A</math>. Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai <math>B</math> sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku <math>u_n<B</math>. Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

=== Kekonvergenan barisan ===
{{utama|Limit barisan}}

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu [[Metrik (matematika)|fungsi jarak]], barisan <math>(u_n)</math> dikatakan ''konvergen menuju <math>u</math>'' jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan ''<math>u</math>'' ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan ''divergen'' apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut [[barisan Cauchy]]. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

== Lihat juga ==
*[[Net (topologi)]], perumuman barisan, dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya.
* [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]
* [[Permutasi]]
* [[Kombinasi]]
* [[Relasi perulangan]]
* [[Sequence space]]
* [[Deret (matematika)]]
* [[Himpunan (matematika)]]

=== Jenis ===
* [[Barisan Farey]]
* [[Look-and-say sequence]]
* [[Thue–Morse sequence]]

=== Konsep terkait ===
* [[List (computing)]]
* [[Order topology#Ordinal-indexed sequences|Ordinal-indexed sequence]]
* [[Recursion (computer science)]]
* [[Rangkap]]
* [[Teori himpunan]]

=== Operasi ===
* [[Cauchy product]]
* [[Limit suatu barisan]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* {{Wiktionary-inline}}
* {{springer|title=Sequence|id=p/s084550}}
* [http://oeis.org/ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
* [http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/index.html Journal of Integer Sequences] (free)
* {{en}} {{PlanetMath|sequence|sequence (ID: barisan)}}

<!--[[Category:Elementary mathematics]]
[[Category:Sequences and series]]-->{{Deret (matematika)}}
[[Kategori:Matematika]]{{Authority control}}
[[Kategori:Barisan dan deret]]