Lihat sumber Aturan L'Hôpital

[[Berkas:Hopital sin x by -0.5x.png|thumb|upright=1.5|Contoh penerapan aturan L'Hopital untuk fungsi {{math|1={{color|#ff8000|''f''(''x'')}} = {{color|#ff8000|sin(''x'')}}}} dan {{math|1={{color|#ff0000|''g''(''x'')}} = {{color|#ff0000|&minus;0.5''x''}}}}. Fungsi {{math|1={{color|#a00000|''h''(''x'')}} = {{color|#ff8000|''f''(''x'')}}/{{color|#ff0000|''g''(''x'')}}}} tidak terdefinisi pada {{math|1=''x'' = 0}} namun dapat dibuat menjadi sebuah fungsi kontinu di setiap {{math|'''R'''}} dengan mendefinisikan {{math|1={{color|#a00000|''h''(0)}} = {{color|#0060ff|''f''&prime;(0)}}/{{color|#0000ff|''g''&prime;(0)}} = &minus;2}}.]]
Dalam [[kalkulus]], '''Aturan L'Hôpital''' merupakan sebuah teknik [[derivatif]] (turunan) yang berguna untuk menentukan nilai limit yang melibatkan [[bentuk tak tentu]]. Penerapan (atau penerapan berulang) aturan ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tentu. Dengan demikian, nilai suatu limit dapat dengan mudah ditentukan. Aturan ini paling sering digunakan dalam bidang [[fisika]], [[ekonomi]] dan masih banyak lagi.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g yang dapat diturunkan pada selang terbuka {{mvar|I}}, bisa jadi terdapat suatu titik {{mvar|c}} dalam selang {{mvar|I}} yang tidak terdefinisi. Jika

<math>\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0 \text{ atau } \pm\infty,</math> <math>g'(x)\ne 0</math> untuk semua {{mvar|x}} di {{mvar|I}} dengan {{math|''x'' ≠ ''c''}},

dan

<math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> ada,

maka

<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.</math>

== Sejarah ==

[[Guillaume de l'Hôpital]] (juga ditulis l'Hospital{{efn|Pada abad ke-17 dan ke-18, nama ini umumnya dieja "l'Hospital". Ia sendiri mengeja namanya menggunaan ejaan tersebut. Meskipun demikian, Ejaaan Prancis telah berubah: huruf "s" telah dihapus dan diganti dengan sirkompleks pada huruf sebelumnya.}}) mempublikasikan aturan ini pada bukunya yang terbitkan pada tahun 1696 berjudul ''[[Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes]]'' (terjemahan Inggris: ''Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines''), buku teks pertama dalam ilmu [[kalkulus diferensial]].<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_L'Hopital.html|title=De L'Hopital biography|first=John J.|last=O'Connor|author2=Robertson, Edmund F|work=The MacTutor History of Mathematics archive|publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews|location=Scotland|accessdate=21 Desember 2008|archive-date=2015-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20150506212441/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_L%27Hopital.html|dead-url=yes}}</ref><ref>{{cite paper|author=L’Hospital|title=Analyse des infiniment petits|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k205444w/f000171.tableDesMatieres |pages= 145–146}}</ref> Meskipun demikian, aturan ini diyakini pertama kali ditemukan oleh matematikawan dari [[Swiss]] bernama [[Johann Bernoulli]].<ref>{{cite book |title=A History of Mathematics |edition=3rd illustrated |first1=Carl B. |last1=Boyer |first2=Uta C. |last2=Merzbach |author2-link= Uta Merzbach |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |isbn=978-0-470-63056-3 |page=321 |url=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=RA2-PT321 Extract of page 321]</ref><ref>{{MathWorld | urlname= LHospitalsRule | title=L'Hospital's Rule}}</ref>

== Bentuk umum ==
Bentuk umum dari aturan L'hopital dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak kasus. Misal {{math|''c''}} dan {{math|''L''}} berupa [[Bilangan riil|bilangan real]] yang diperluas (bilangan real, tak hingga positif, atau tak hingga negatif)<ref>{{Cite journal|last=Liyanti|first=Dwi|date=2017|title=Karakteristik Integral Khintchine|url=http://repository.ump.ac.id/6185/3/BAB%20II_DWI%20LIYANTI_MTK%2713.pdf|journal=Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto|volume=|issue=|pages=12|doi=}}</ref> dan {{math|''I''}} merupakan selang terbuka yang mengandung {{math|''c''}} atau selang terbuka dengan akhiran {{math|''c''}} (untuk limit sepihak atau limit di tak hingga dengan {{math|''c''}} tak hingga). Fungsi {{math|''f''}} dan {{math|''g''}} diasumsikan [[Fungsi yang dapat diturunkan|dapat diturunkan]] pada {{math|''I''}}, tetapi kemungkinan tidak dapat diturunkan pada {{math|''c''}}, dan <math>g'(x)\ne 0</math> pada {{math|''I''}} namun kemungkinan tidak pada {{math|''c''}}. Diasumsikan pula bahwa <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L.</math> Dengan demikian, aturan ini dapat diterapkan ketika rasio turunan memiliki jumlah hingga maupun tak hingga, tetapi tidak ketika rasio turunan mengalami fluktuasi permanen saat {{math|''x''}} semakin mendekat ke {{math|''c''}}.

Apabila

: <math>\lim_{x\to c}f(x) = \lim_{x\to c}g(x) = 0</math>

atau

: <math>\lim_{x\to c}|f(x)| = \lim_{x\to c}|g(x)| = \infty,</math>

maka

: <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L.</math>

Meskipun kita menulis ''x''&nbsp;&#x2192; ''c'', limit di atas bisa saja berupa limit sepihak (''x''&nbsp;&#x2192; ''c''<sup>+</sup> atau ''x''&nbsp;&#x2192; ''c''<sup>&#x2212;</sup>).

== Catatan ==
<references group="lower-alpha" />
== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }} {{id icon}}

== Pranala luar ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/LHospitalsRule.html l'Hôpital's rule at PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081030111251/http://planetmath.org/encyclopedia/LHospitalsRule.html |date=2008-10-30 }}

[[Kategori:Kalkulus]]


{{matematika-stub}}