Lihat sumber Arithmetica

{{bukanlah|aritmetika}}{{Infobox book|italic title=<!--(see above)-->|isbn_note=|pub_date=|english_pub_date=|published=|media_type=|pages=|awards=|isbn=|oclc=|publisher=|dewey=|congress=|preceded_by=|followed_by=|native_wikisource=|wikisource=|exclude_cover=|publisher2=|set_in=|name=|title_orig=|image=Diophantus-cover.jpg|image_size=|border=|alt=|caption=Sampul dari edisi tahun 1621, diterjemahkan ke [[Bahasa Latin]] dari [[Bahasa Yunani]] oleh [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].|author=[[Diofantos]]|audio_read_by=|orig_lang_code=|genre=|title_working=|translator=|illustrator=|cover_artist=|country=|language=|series=|subject=|website=}}'''''Arithmetica''''' ({{Lang-grc-gre|Ἀριθμητικά}}) adalah teks [[Bahasa Yunani Kuno|Yunani Kuno]] tentang [[Matematika|matematika yang]] ditulis oleh [[Matematikawan|ahli matematika]] [[Diofantos]] ({{Kira-kira|200/214&nbsp;M|284/298&nbsp;M}}) pada abad ke-3 Masehi.<ref>{{Cite web|title=Diophantus of Alexandria (Greek mathematician)|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/164347/Diophantus-of-Alexandria#ref704023|publisher=Encyclopædia Britannica|access-date=11 April 2013}}</ref> Buku ini adalah kumpulan dari 150 masalah [[aljabar]] untuk memberikan solusi numerik dari [[persamaan]] ''determinate'' (yang memiliki solusi unik) dan [[persamaan tak tentu]].<ref name="Boyer Arithmetica" />

== Konten ==
Persamaan-persamaan dalam buku ini sekarang dikenal sebagai [[persamaan Diofantin]]. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini dikenal sebagai [[Persamaan Diofantin|analisis Diofantin]]. Sebagian besar masalah ''Arithmetica'' mengarah pada [[persamaan kuadrat]].

Dalam Buku 3, Diofantos menyelesaikan permasalahan menemukan nilai yang membuat dua ekspresi linier secara bersamaan memiliki solusi kuadratik atau kubik. Buku 4 membahas perpangkatan rasional pada bilangan-bilangan yang diberikan. Dia juga memperhatikan angka-angka yang berbentuk <math>4n + 3</math> tidak bisa berasal dari jumlah dari dua bilangan kuadrat. Diofantos tampaknya juga mengetahui bahwa setiap bilangan dapat ditulis sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat. Jika dia benar-benar mengetahui hasil ini (dalam arti telah membuktikannya dan bukan hanya sekadar menduga-duga), tindakannya itu akan benar-benar luar biasa: bahkan [[Pierre de Fermat|Fermat]], yang juga menemukan hasil ini, gagal memberikan bukti. Permasalahan tersebut tidak terbuktikan sampai [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] membuktikannya menggunakan hasil dari [[Leonhard Euler]].

''Arithmetica'' awalnya ditulis dalam tiga belas buku, tetapi manuskrip Yunani yang bertahan hingga saat ini berisi tidak lebih dari enam buku.<ref name="magill">{{Cite book|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=_CMl8ziTbKYC&pg=PA362|title=Dictionary of World Biography|publisher=Salem Press|isbn=9781135457396|editor-last=Magill|editor-first=Frank N.|volume=1|page=362}}</ref> Pada tahun 1968, [[Fuat Sezgin]] menemukan empat buku ''Arithmetica yang'' sebelumnya tidak diketahui di kompleks makam Imam Rezā, di kota [[Masyhad]] di bagian timur laut Iran.<ref>{{Cite web|last=Hogendijk|first=Jan P.|authorlink=Jan Hogendijk|date=|year=1985|title=Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica|url=http://www.jphogendijk.nl/reviews/sesiano.html|website=|access-date=2014-07-06|quote=[''diterjemahkan''] Hanya enam dari tiga belas buku dari ''Arithmetica'' dari Diophantus (ca. 250 M) yang masih ada dalam bahasa Yunani. Buku-buku yang tersisa diyakini hilang, sampai ditemukannya terjemahan empat buku dalam bahasa Arab pada abad pertengahan, yang baru-baru ini ditemukan dalam sebuah manuskrip di Perpustakaan Kuil di Meshed di Iran (lihat katalog [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. Naskah itu ditemukan pada tahun 1968 oleh F. Sezgin).}}</ref> Keempat buku tersebut diperkirakan telah diterjemahkan dari bahasa Yunani ke [[bahasa Arab]] oleh [[Qusta bin Luqa]] (820–912).<ref name="magill" /> Norbert Schappacher telah menulis [''diterjemahkan'']:<blockquote>[Empat buku yang hilang] telah muncul kembali sekitar tahun 1971 di [[Perpustakaan Pusat Astan Quds Razavi|Perpustakaan Astan Quds]] di Meshed (Iran) dalam salinan dari tahun 1198 Masehi. Buku-bukut tersebut tidak dikatalogkan dengan nama Diofantos (tetapi oleh nama [[Qusta bin Luqa]]) karena pustakawan disana rupanya tidak dapat membaca baris utama halaman sampul karena tempat nama Diophantus muncul dalam [[Kufi|kaligrafi]] [[Kufi]].<ref>{{Cite web|last=Schappacher|first=Norbert|date=April 2005|title=Diophantus of Alexandria : a Text and its History|url=http://www-irma.u-strasbg.fr/~schappa/NSch/Publications_files/1998cBis_Dioph.pdf|page=18|access-date=2015-10-09}}</ref></blockquote>''Arithmetica'' dikenal oleh para [[Matematika Islam abad pertengahan|ahli matematika di dunia Islam]] pada abad kesepuluh<ref>{{Harvard citation|Boyer|1991}} "Karena penghapusan nama Diofantos dan Pappus, mereka [sebagai penulis buku] tidak dikenal di Arab pada awalnya, walau karya ''Arithmetica'' Diofantos terkenal sebelum akhir abad kesepuluh"</ref> ketika [[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani|Abul Wafa]] menerjemahkannya ke dalam bahasa Arab.<ref>{{Harvard citation|Boyer|1991}} [''terjemahan''] "Abul-Wefa adalah ahli aljabar dan ''trigonometer'' yang mumpuni. Ia mengomentrari ''Algebra'' karya Aal-Khwarizmi dan menerjemahkan salah satu karya Yunani klasik yang terakhir, ''Arithmetica'' karya Diophantus."</ref>

== Aljabar sinkopasi ==
[[Diofantos|Diophantus]] adalah seorang matematikawan [[Periode Helenistik|Helenistik]] yang hidup sekitar tahun 250 M, tetapi ketidakpastian tanggal ini begitu besar sehingga mungkin meleset lebih dari satu abad. Dia dikenal karena menulis ''Arithmetica'', sebuah risalah yang awalnya tiga belas buku tetapi hanya enam yang pertama yang bertahan.<ref name="Boyer Diophantus">{{Harvard citation|Boyer|1991}} [''terjemahan''] "Ketidakpastian tentang hiduo Diofantos begitu besar sehingga kita tidak tahu secara pasti di abad mana dia hidup. Umumnya ia diasumsikan berkembang sekitar tahun 250 M, tetapi selisih sebesar satu abad lebih awal atau kemudian terkadang digunakan [...] Jika teka-teki ini akurat secara historis, Diophantus hidup sampai usia delapan puluh empat tahun. [...] Karya utama Diophantine yang kita kenal adalah ''Arithmetica'', sebuah risalah yang aslinya ada dalam tiga belas buku, hanya enam yang pertama yang bertahan."</ref> ''Arithmetica'' memiliki sangat sedikit kesamaan dengan [[matematika Yunani]] tradisional karena ia tidak berdasarkan metode geometris, dan juga berbeda dari matematika Babylonia karena Diofantos berfokus pada solusi yang tepat, baik untuk kasus ''determinate'' maupun ''inderteminate'', bukan pada perkiraan sederhana.<ref name="Boyer Arithmetica">{{Harvard citation|Boyer|1991}} [''terjemahan''] "Dalam konteks ini [buku ini] dapat dibandingkan dengan karya klasik besar dari zaman Aleksandria sebelumnya; walau secara praktis tidak ada kesamaannya atau, pada kenyataannya, dengan matematika Yunani tradisional. Buku ini pada dasarnya mewakili cabang baru dan menggunakan pendekatan yang berbeda. Tidak menggunakan metode geometris, buku ini sebagian besar menyerupai aljabar Babilonia. Tapi sementara matematikawan Babilonia berfokus terutama pada prakiraan solusi persamaan ''determinate'' sampai pada derajat ketiga, ''Arithmetica'' Diofantos (seperti yang kita miliki) hampir seluruhnya dikhususkan untuk solusi persamaan yang tepat, baik pada kasus ''determinate'' maupun ''indeterminate''. [...]

Sepanjang enam buku Arithmetica yang masih ada, terdapat penggunaan singkatan yang sistematis untuk perpangkatan angka dan untuk hubungan maupun operasi. Angka yang tidak diketahui diwakili oleh simbol yang menyerupai huruf Yunani ζ (mungkin berasal dari huruf terakhir arithmos). [...]

Ini adalah kumpulan dari sekitar 150 masalah, semua dikerjakan dalam bentuk contoh numerik tertentu, meskipun mungkin adal metode umum yang dimaksudkan. Tidak ada pengembangan postulat, juga tidak ada upaya untuk menemukan semua solusi yang mungkin. Dalam kasus persamaan kuadrat dengan dua akar positif, hanya akar yang lebih besar yang diberikan, dan akar negatif tidak dikenal. Tidak ada perbedaan yang jelas dibuat antara masalah ''determinate'' dan ''indeterminate'', dan bahkan untuk masalah yang terakhir yang jumlah penyelesaiannya umumnya tidak terbatas, hanya satu solusi yang diberikan. Diophantus memecahkan masalah yang melibatkan beberapa bilangan yang tidak diketahui dengan mengekspresikan secara terampil semua variabel yang tidak diketahui, yang jika memungkinkan, hanya dalam salah satu dari mereka."</ref>

Di ''Arithmetica'', Diofantos adalah orang pertama yang menggunakan simbol untuk angka yang tidak diketahui serta singkatan untuk kekuatan angka, hubungan, dan operasi;<ref name="Boyer Arithmetica" /> jadi dia menggunakan apa yang sekarang dikenal sebagai aljabar ''sinkopasi''. Perbedaan utama antara aljabar sinkopasi Diofantin dan notasi aljabar modern adalah bahwa notasi aljabar modern tidak memiliki simbol khusus untuk operasi, relasi, dan eksponensial.<ref name="Boyer">{{Harvard citation|Boyer|1991}} [''terjemahan''] "Perbedaan utama antara sinkopasi Diophantine dan notasi aljabar modern adalah kurangnya simbol-simbol khusus untuk operasi dan relasi, serta notasi eksponensial."</ref> Jadi, misalnya, apa yang kita tulis

: <math>x^3 - 2x^2 + 10x -1 = 5</math>

Diofantos akan menulisnya sebagai

: Κ <sup>υ</sup>&nbsp;ᾱ̄ ζ&nbsp;ί̄&nbsp;⫛ Δ <sup>υ</sup>&nbsp;β̄ Μ&nbsp;ᾱ̄ {{Lang|grc|ἴσ}} Μ&nbsp;ε̄

Berikut adalah simbol-simbol dan objek yang diwakilinya:<ref name="Diophantus Syncopation">{{Harvard citation|Derbyshire|2006}}</ref><ref>{{Harvard citation|Cooke|1997}}</ref>
{| class="wikitable"
!Simbol
!Perwakilan
|-
|&nbsp;ᾱ̄
|mewakili 1
|-
|&nbsp;β̄
|mewakili 2
|-
|&nbsp;ε̄
|mewakili 5
|-
|&nbsp;ί̄
|mewakili 10
|-
|ζ
|mewakili kuantitas yang tidak diketahui
|-
|{{Lang|grc|ἴσ}}
|(kependekan dari {{Lang|grc|ἴσος}}) mewakili "sama dengan"
|-
|⫛
|mewakili pengurangan dari semua yang mengikutinya hingga {{Lang|grc|ἴσ}}
|-
|Μ
|mewakili pangkat nol (yaitu suku konstan)
|-
|Δ <sup>υ</sup>
|mewakili kekuatan kedua, dari bahasa Yunani {{Lang|grc|δύναμις}} , artinya kekuatan atau kekuasaan
|-
|Κ <sup>υ</sup>
|mewakili kekuatan ketiga, dari bahasa Yunani {{Lang|grc|κύβος}} , artinya kubus
|-
|Δ <sup>υ</sup> Δ
|mewakili kekuatan keempat
|-
|ΔΚ <sup>υ</sup>
|mewakili kekuatan kelima
|-
|Κ <sup>υ</sup> Κ
|mewakili kekuatan keenam
|-
|}
Perhatikan bahwa koefisien terletak setelah variabel dan penambahan tersebut diwakili oleh penggabungan suku-suku. Terjemahan simbol-demi-simbol secara literal dari persamaan sinkopasi Diofantos dalam persamaan simbolik modern adalah sebagai berikut:<ref name="Diophantus Syncopation" />

: <math>{x^3}1{x}10 - {x^2}2{x^0}1 = {x^0}5</math>

dan, dengan menggunakan tanda kurung dan tanda plus untuk memperjelas, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:<ref name="Diophantus Syncopation" />

: <math>({x^3}1+{x}10) - ({x^2}2+{x^0}1) = {x^0}5</math>

''Arithmetica'' adalah koleksi sekitar 150 solusi penyelesaian masalah-masalah spesifik. Walau ada kemungkinan bahwa Diofantos mengharapkan keumuman dari metodenya, buku ini tidak menyertakan perkembangan teoritis maupun metode penyelesaian umum yang eksplisit. Diofantos juga tidak berusaha untuk mencari semua solusi dari persamaan-persamaan.<ref name="Boyer Arithmetica" /> ''Arithmetica'' berisi penyelesaian masalah yang melibatkan beberapa variabel, yang didapatkan (jika memungkinkan) dengan menyatakan sebuah variabel sebagai [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] dari variabel-variabel lainnya.<ref name="Boyer Arithmetica" /> ''Arithmetica'' juga menggunakan identitas:<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 257}} "The book makes frequent use of the identities [...] which had appeared in Diophantus and had been widely used by the Arabs."</ref>

:{| styles="background:none;"
|-
| <math>(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)</math>
| <math>= (ac + db)^2 + (bc - ad)^2</math>
|-
|
| <math>= (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2</math>
|}

== Daftar pustaka ==

* {{Cite book|last=Boyer|first=Carl B.|date=|year=1991|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|title=A History of Mathematics|location=|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7|edition=2|pages=|author-link=Carl Benjamin Boyer|url-status=live}}
* {{Cite book|last=Derbyshire|first=John|year=2006|title=Unknown Quantity: A Real And Imaginary History of Algebra|url=https://archive.org/details/isbn_9780309096577|publisher=Joseph Henry Press|isbn=0-309-09657-X|author-link=John Derbyshire}}
* {{Cite book|last=Cooke|first=Roger|year=1997|title=The History of Mathematics: A Brief Course|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook|publisher=Wiley-Interscience|isbn=0-471-18082-3|author-link=Roger Cooke (mathematician)}}

== Referensi ==
<references responsive="" />

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]