Lihat sumber Arg max

[[Berkas:Si_sinc.svg|jmpl|350x350px|Sebagai contoh, kedua fungsi di atas memiliki <math>\operatorname{argmax}</math> berupa {0} karena keduanya mencapai nilai maksimum global 1 saat ''x''=0. Fungsi berwarna merah memiliki ''arg min'' berupa (aproksimasi) {&#x2212;4.49, 4.49} karena fungsi tersebut memiliki dua minimum global sekitar &#x2212;0.217, yang terjadi saat ''x''=±4.49. Namun walaupun memiliki nilai minimum global yang sama, fungsi berwarna biru memiliki ''arg min'' berupa {&#x2212;1.43, 1.43} (aproksimasi), karena global minimum terjadi saat ''x''=±1.43.<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf|date=2017-02-15}}", University of Sydney</ref>]]
Dalam [[matematika]], '''argumen dari maksimum''' (''arguments of the maxima,'' disingkat sebagai '''arg max''' atau '''argmax'''), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan [[Maksimum dan minimum|maksimum global]] yang merujuk pada nilai ''keluaran'' terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai ''input'' (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

== Definisi ==
Untuk sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math>, himpunan <math>Y</math> dengan [[urutan total]], dan sebuah fungsi <math>f:X\to Y</math>, nilai <math>\operatorname{argmax}</math> pada suatu subset <math>S</math> dari <math>X</math> didefinisikan sebagai <math display="block">\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ untuk setiap } s \in S \}.</math>

Pada kasus <math>S = X</math> atau <math>S</math> jelas dari konteks pembicaraan, umumnya <math>S</math> tidak ditulis; sebagai contoh:<math display="block">\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>Dalam kata lain, <math>\operatorname{argmax}</math> merupakan himpunan titik <math>x</math> yang menyebabkan <math>f(x)</math> menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada). <math>\operatorname{Argmax}</math> dapat berupa [[himpunan kosong]], [[singleton]], atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang [[analisis konveks]] dan [[analisis variasi]], definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika <math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math> adalah [[Bilangan riil|bilangan real]] yang diperluas (''extended real numbers'').<ref name=":0" /> Dalam kasus khusus ini, jika nilai <math>f</math> secara identik sama dengan <math>\infty</math> pada <math>S</math>, maka <math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math> (dengan kata lain, <math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>). Sedangkan pada kasus lainnya <math>\operatorname{argmax}_S f</math> didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai: <math display="block">\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}</math>Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan <math>\inf {}_S f</math> ''hanya'' berlaku ketika <math>f</math> tidak identik dengan <math>\infty</math> pada subset {{nowrap|<math>S</math>.}}<ref name=":0" />

=== Arg min ===
Istilah <math>\operatorname{argmin}</math> (atau <math>\operatorname{arg\,min}</math>) yang merujuk pada '''argumen dari minimum''', didefinisikan serupa seperti <math>\operatorname{argmax}</math>. Sebagai contoh,

: <math>\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ untuk setiap } s \in S \}</math>

adalah titik-(titik) <math>x</math> yang menyebabkan <math>f(x)</math> menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari {{nowrap|<math>\operatorname{arg\,max}</math>.}} Pada kasus khusus <math>Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \}</math> merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai <math>f</math> identik dengan <math>-\infty</math> pada <math>S</math> maka <math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math> (dengan kata lain, <math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai <math>f</math> tidak sama dengan <math>-\infty</math>) , <math>\operatorname{argmin}_S f</math> punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

: <math>\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}.</math><ref name=":0">{{Cite book|last=Rockafellar|first=R. Tyrrell|last2=Wets|first2=Roger J.-B|date=26 June 2009|title=Variational Analysis.|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=9783642024313|volume=Volume 317 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|pages=1-37|oclc=883392544|url-status=live}}</ref>

== Contoh ==
Sebagai contoh, jika <math>f(x)</math> didefinisikan sebagai <math>1 - |x|,</math> maka <math>f</math> akan mencapai nilai maksimum <math>1</math> hanya pada titik <math>x = 0.</math> Dengan demikian,

: <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>

Operator <math>\operatorname{argmax}</math> berbeda dengan operator <math>\max</math>. Operator <math>\max</math> ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan [[Maksimum dan minimum|nilai maksimum]] dari fungsi tersebut, bukan ''himpunan titik'' yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

: <math>\max_x f(x)</math> adalah elemen dari himpunan <math>\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ untuk setiap } s \in S \}.</math>

== Sifat ==
Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:<ref>https://www.cs.ubc.ca/~schmidtm/Documents/2016_540_Argmax.pdf</ref>

# Jika <math>\theta</math> adalah sebuah konstanta, maka <math>\operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmax} f(x) + \theta</math>
# Jika <math>\theta > 0</math>, maka <math>\operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmax} \theta f(x)</math>
# Jika <math>\theta < 0</math>, maka <math>\operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmin} \theta f(x)</math>
# Jika <math>\operatorname{argmax} f(x) > 0</math>, maka <math>\operatorname{argmax} f(x) = \operatorname{argmin} \frac{1}{f(x)}</math>
# Jika fungsi <math>g</math> monotonik secara tegas, yakni <math>\alpha < \beta</math> menyebabkan <math>g(\alpha) < g(\beta)</math>, terdapat hubungan <math>\operatorname{argmax} g(f(x)) = \operatorname{argmax} f(x)</math>

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan [[Peluang (matematika)|probabilitas]]. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan [[fungsi monotonik]] tegas <math>\log(x)</math>. Dengan kata lain <math display="block">\operatorname{argmax} \prod_{i=1}^n p_i(x) = \operatorname{argmax} \sum_{i=1}^n \log p_i(x)</math>

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala eksternal ==

* {{PlanetMath|urlname=argminandargmax|title=arg min and arg max}}

[[Kategori:Matematika dasar]]