Lihat sumber Aljabar von Neumann

{{redirect-distinguish|gelanggang operator|gelanggang operator|asitansi operator}}
<!--Jangan tambahkan templat huruf kecil ke artikel ini. "Von" dalam "von Neumann" menggunakan huruf besar dengan benar saat diawali kalimat atau judul artikel.-->
Dalam [[matematika]], '''aljabar von Neumann''' atau '''aljabar-W*''' adalah [[aljabar-*]] dari [[Operator linier terikat|operator terikat]] pada [[ruang Hilbert]] yaitu [[Himpunan tertutup|tertutup]] dalam [[topologi operator lemah]] dan berisi [[operator identitas]]. Ini adalah tipe khusus dari [[aljabar-C*]].

Aljabar Von Neumann awalnya diperkenalkan oleh [[John von Neumann]], termotivasi oleh studinya tentang [[teori operator|operator tunggal]], [[representasi grup]], [[teori ergodik]] dan [[mekanika kuantum]]. [[Teorema komutan ganda von Neumann|Teorema komutan ganda]] menunjukkan bahwa definisi [[Analisis matematika|analitik]] sama dengan definisi murni [[aljabar abstrak|aljabar]].

Dua contoh dasar von Neumann aljabar adalah sebagai berikut:
* Gelanggang <math>L^\infty(\mathbb R)</math> dari [[dasar hingga]] [[fungsi terukur]] pada garis riil adalah aljabar von Neumann komutatif, yang elemennya bertindak sebagai [[operator perkalian]] dengan perkalian runcing di [[ruang Hilbert]] <math>L^2(\mathbb R)</math> dari [[fungsi integral persegi]].
* Aljabar <math>\mathcal B(\mathcal H)</math> dari semua [[operator terbatas]] di ruang Hilbert <math>\mathcal H</math> adalah aljabar von Neumann, non-komutatif jika ruang Hilbert memiliki dimensi minimal <math> 2 </math>.

Von Neumann algebras pertama kali dipelajari oleh {{harvtxt|von Neumann|1930}} pada tahun 1929; dia dan [[Francis Joseph Murray|Francis Murray]] mengembangkan teori dasar, dengan nama asli '''gelanggang operator''', dalam serangkaian makalah yang ditulis pada tahun 1930-an dan 1940-an ({{harvard citations|nb=yes|first=F.J.|last= Murray|first2= J. |last2=von Neumann |year=1936|year2=1937|year3=1943}}; {{harvard citations|nb=yes|first= J. |last=von Neumann |year1=1938|year2=1940|year3=1943|year4=1949}}), reprinted in the collected works of {{harvtxt|von Neumann|1961}}.

Catatan pengantar von Neumann algebras diberikan dalam catatan online dari {{harvtxt|Jones|2003}} dan {{harvtxt|Wassermann|1991}} dan buku oleh {{harvtxt|Dixmier|1981}}, {{harvtxt|Schwartz|1967}}, {{harvtxt|Blackadar|2005}} dan {{harvtxt|Sakai|1971}}. Tiga volume {{Harvtxt|Takesaki|1979}} memberikan penjelasan ensiklopedis tentang teori tersebut. Buku oleh {{harvtxt|Connes|1994}} membahas topik yang lebih lanjut.

== Definisi ==
Ada tiga cara umum untuk mendefinisikan aljabar von Neumann.

Cara pertama dan paling umum adalah mendefinisikannya sebagai [[topologi operator lemah|tertutup lemah]] [[aljabar-*]] dari operator terikat (pada ruang Hilbert) yang berisi identitas. Dalam definisi ini topologi (operator) lemah dapat diganti dengan banyak [[topologi operator|topologi umum]] termasuk [[kekuatan topologi operator|kekuatan]], [[topologi ultra kekuatan|ultra kekuatan]] atau [[topologi ultra rendah|ultra rendah]] topologi operator. Aljabar-* dari operator terikat yang tertutup dalam [[topologi norma]] adalah [[aljabar-C*]], jadi khususnya setiap aljabar von Neumann adalah aljabar-C*.

Definisi kedua adalah bahwa aljabar von Neumann adalah [[himpunan bagian]] dari operator terikat yang ditutup di bawah [[Semigrup dengan involusi|involusi]] (operasi-*) dan sama dengan [[komutan]] ganda, atau sama dengan [[komutan]] dari beberapa subset ditutup di bawah *. [[Teorema komutan ganda von Neumann]] {{harv|von Neumann|1930}} mengatakan bahwa dua definisi pertama adalah setara.

Dua definisi pertama menjelaskan aljabar von Neumann secara konkret sebagai sekumpulan operator yang bekerja pada beberapa ruang. {{harvtxt|Sakai|1971}} menunjukkan bahwa von Neumann algebras juga dapat didefinisikan secara abstrak sebagai C*-aljabar yang memiliki [[predual]]; dengan kata lain, aljabar von Neumann, yang dianggap sebagai [[ruang Banach]], adalah rangkap dari beberapa ruang Banach lainnya yang disebut predual. Predual aljabar von Neumann pada kenyataannya unik untuk [[isomorfisme]]. Beberapa penulis menggunakan "von Neumann aljabar" untuk aljabar bersama dengan gerak ruang Hilbert, dan "W*-aljabar" untuk konsep abstrak, jadi aljabar von Neumann adalah aljabar-W* bersama dengan ruang Hilbert dan aksi unital setia yang sesuai di ruang Hilbert. Definisi konkret dan abstrak dari aljabar von Neumann dengan definisi konkret dan abstrak aljabar-C*, yang dapat didefinisikan baik sebagai norma-tertutup *-aljabar operator pada ruang Hilbert, atau sebagai [[Banach *-aljabar]] maka ||''aa*''||=||''a''|| ||''a*''||.

== Istilah ==
Beberapa terminologi dalam teori aljabar von Neumann dapat membingungkan, dan istilah tersebut sering kali memiliki arti berbeda di luar subjek.

* '''Faktor''' adalah aljabar von Neumann dengan pusat trivial, yaitu pusat yang hanya terdiri dari operator skalar.
* [[Aljabar von Neumann hingga|'''hingga''' aljabar von Neumann]] adalah salah satu yang merupakan [[integral langsun#integral langsung dari aljabar von Neumann|integral langsung]] faktor hingga (artinya aljabar von Neumann memiliki trasial norma τ: M → ℂ, lihat http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf). Maka, aljabar von Neumann adalah integral langsung dari faktor-faktor tak hingga benar.
* Aljabar von Neumann pada ruang Hilbert seperabel. Perhatikan bahwa aljabar [[ruang seperabel|dipisahkan]] dalam topologi norma.
* Aljabar von Neumann '''dihasilkan''' oleh sekumpulan operator berbatas pada ruang Hilbert adalah aljabar von Neumann terkecil yang berisi semua operator tersebut.
* ''Perkalian tensor'' dari dua aljabar von Neumann pada dua ruang Hilbert didefinisikan sebagai aljabar von Neumann yang dihasilkan oleh perkalian tensor aljabar mereka, dianggap sebagai operator pada produk tensor ruang Hilbert dari ruang Hilbert.

== Aljabar Komutatif von Neumann ==
{{Main|Aljabar Abelian von Neumann}}

Hubungan antara [[komutatif]] von Neumann aljabar dan [[ruang ukur]] s sama dengan hubungan antara komutatif [[C * -aljabar]] s dan [[kompleks lokal]] [[ruang Hausdorff]]. Aljabar von Neumann komutatif isomorfik terhadap [[ruang Lp|''L''<sup>∞</sup>]](''X'') untuk beberapa ruang ukur ('' X '', μ) dan sebaliknya, untuk setiap ruang ukur σ-hingga '' X '', * -aljabar ''L''<sup>∞</sup>(''X'') adalah aljabar von Neumann.

Karena analogi ini, teori von Neumann algebras disebut teori ukuran nonkomutatif, sedangkan teori [[aljabar-C*]] terkadang disebut [[topologi nonkomutatif]] {{harv|Connes|1994}}.

== Produk Tensor dari von Neumann algebras ==
Hasil perkalian tensor ruang Hilbert dari dua ruang Hilbert adalah penyelesaian perkalian tensor aljabar. Seseorang dapat mendefinisikan perkalian tensor von Neumann aljabar (penyelesaian perkalian tensor aljabar dari aljabar yang dianggap sebagai gelanggang), yang juga merupakan aljabar von Neumann, dan bekerja pada hasil kali tensor ruang Hilbert. Hasil kali tensor dari dua aljabar berhingga adalah berhingga, dan hasil perkalian tensor dari aljabar tak hingga dan aljabar bukan nol adalah tak hingga. Jenis hasilkali tensor dua von Neumann aljabar (I, II, atau III) adalah jenis maksimumnya. '''Teorema pergantian untuk produk tensor''' menyatakan bahwa

:<math>(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,</math>

di mana '' M ''′ menunjukkan [[komutan]] dari '' M ''.

Sebagai gantinya {{harvtxt|von Neumann|1938}} menunjukkan bahwa seseorang harus memilih keadaan pada setiap aljabar von Neumann, gunakan ini untuk mendefinisikan keadaan pada perkalian tensor aljabar, yang dapat digunakan untuk menghasilkan ruang Hilbert dan aljabar von Neumann (cukup kecil). {{harvtxt|Araki|Woods|1968}} mempelajari kasus di mana semua faktor adalah aljabar matriks hingga; faktor-faktor ini disebut faktor '''Araki-Woods''' atau '''faktor ITPFI''' (ITPFI adalah singkatan dari "produk tensor tak terbatas tipe I hingga). Jenis produk tensor tak hingga dapat bervariasi secara dramatis seiring perubahan status; misalnya, hasil kali tensor tak hingga dari jenis bilangan tak hingga I<sub>2</sub> faktor dapat memiliki tipe apa pun tergantung pada pilihan negara bagian. Khususnya {{harvtxt|Powers|1967}} tak terhitung jenis hiperfinit non-isomorfik III<sub>λ</sub> faktor untuk 0 <λ <1, disebut '''Faktor kekuatan''', dengan mengambil hasil kali tensor tak hingga faktor tipe I<sub>2</sub>, masing-masing dengan keadaan yang diberikan oleh:

:<math>x\mapsto {\rm Tr}\begin{pmatrix}{1\over \lambda+1}&0\\ 0&{\lambda\over \lambda+1}\\ \end{pmatrix} x.</math>
 
Semua aljabar von Neumann hiperfinit bukan tipe III<sub>0</sub> isomorfik terhadap faktor Araki–Woods, tetapi ada banyak tipe III<sub>0</sub> yang tidak bisa dihitung.

== Aplikasi ==
Von Neumann aljabar telah menemukan aplikasi di berbagai bidang matematika seperti [[teori simpul]], [[mekanika statistik]], [[Teori medan kuantum]], [[Fisika kuantum lokal]], [[Probabilitas bebas]], [[geometri nonkomunikasi]], [[teori representasi]], [[geometri]], dan [[probabilitas]].

Misalnya, [[aljabar-C*]] memberikan aksiomatisasi alternatif untuk teori probabilitas. Dalam hal ini metode tersebut menggunakan nama [[Konstruksi Gelfand–Naimark– lSegal]]. Ini sejalan dengan dua pendekatan untuk mengukur dan integrasi, di mana seseorang memiliki pilihan untuk membangun ukuran dari himpunan terlebih dahulu dan kemudian mendefinisikan integralnya, atau buat integral dulu dan tentukan ukuran himpunan sebagai integral dari fungsi karakteristik.

== Lihat pula ==
* [[Aljabar-AW*]]

== Referensi ==
*{{citation|first=H. |last=Araki|first2=E. J. |last2=Woods|title=A classification of factors|journal=Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A|volume=4|year=1968|issue=1|pages=51–130| doi=10.2977/prims/1195195263|doi-access=free}}{{MathSciNet|id=0244773}}
*{{citation|first=B.|last= Blackadar|title=Operator algebras|isbn =3-540-28486-9 |publisher=Springer|year=2005}}, {{citation|url=http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/Cycr.pdf|title=corrected manuscript|year=2013|accessdate=2021-01-12|archive-date=2017-02-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20170215081436/http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/Cycr.pdf|dead-url=yes}} 
*{{citation|doi=10.2307/1971057|first=A.|last= Connes |title=Classification of Injective Factors|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume= 104|issue= 1 |year=1976|pages= 73–115|jstor=1971057}}
*{{citation|first=A.|last=Connes|url=https://archive.org/details/noncommutativege0000conn|title=Non-commutative geometry|isbn=0-12-185860-X|year=1994|publisher=Academic Press|url-access=registration}}.
*{{citation|first=J.|last= Dixmier|title=Von Neumann algebras| isbn=0-444-86308-7 |year=1981}} (A translation of {{citation|first=J.|last= Dixmier|title=Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann|publisher= Gauthier-Villars  |year=1957}}, the first book about von Neumann algebras.)
*{{citation|first=V.F.R.|last=Jones |year=2003|url=http://www.math.berkeley.edu/~vfr/MATH20909/VonNeumann2009.pdf |title=von Neumann algebras}}; incomplete notes from a course.
*{{citation|first=R.P.|last=Kostecki |year=2013|arxiv=1307.4818|title=W*-algebras and noncommutative integration|bibcode=2013arXiv1307.4818P}}.
*{{citation|first=Dusa|last=McDuff|author-link=Dusa McDuff|title=Uncountably many II<sub>1</sub> factors|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=90|year=1969|pages=372–377| doi=10.2307/1970730 |jstor=1970730|issue=2}}
*{{citation|last=Murray|first= F. J.|contribution=The rings of operators papers|title=  The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988)|pages=  57–60|series= Proc. Sympos. Pure Math.|year= 2006|volume= 50|publisher= Amer. Math. Soc.|  isbn=0-8218-4219-6|location= Providence, RI.}} A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
*{{citation|first=F.J.|last= Murray|first2=   J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators| journal= Annals of Mathematics | series = Second Series |volume= 37  |year=1936|pages=116–229| doi=10.2307/1968693 |jstor=1968693|issue=1}}. This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.  
*{{citation|first=F.J.|last= Murray|first2=   J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators II|journal= Trans. Amer. Math. Soc. |volume= 41  |year=1937|pages= 208–248 |doi=10.2307/1989620|issue=2|jstor=1989620|publisher=American Mathematical Society|doi-access=free}}. This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor. 
*{{citation|first=F.J.|last= Murray|first2=   J. |last2=von Neumann |title=On rings of operators IV|journal= Annals of Mathematics | series = Second Series |volume= 44  |year=1943|pages= 716–808| doi=10.2307/1969107 |jstor=1969107|issue=4}}. This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II<sub>1</sub> are isomorphic. 
*{{citation|  doi=  10.2307/1970364|  title=  Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings|first=Robert T. |last=Powers |journal= Annals of Mathematics | series = Second Series|volume= 86|issue= 1|year= 1967|pages= 138–171|  jstor=  1970364}}
*{{citation|first=S.|last= Sakai|author-link=Shoichiro Sakai|title=C*-algebras and W*-algebras|publisher= Springer  |year=1971| isbn =3-540-63633-1}}
*{{citation|author-link=Jacob T. Schwartz|first=Jacob|last=Schwartz|title=W-* Algebras|year=1967| isbn =0-677-00670-5}}
*{{springer|id=V/v096900|title=von Neumann algebra|first=A.I.|last= Shtern}}
*{{citation|first=M. |last=Takesaki |title=Theory of Operator Algebras I, II, III| isbn=3-540-42248-X|year=1979}}
<!-- Please do NOT change von to Von: this breaks the citation links. -->
*{{citation|first=J. |last=von Neumann|doi=10.1007/BF01782352|title= Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren|journal= Math. Ann.|volume=102 |issue=1 |year=1930|pages= 370–427 |bibcode=1930MatAn.102..685E}}. The original paper on von Neumann algebras.
*{{citation|doi=10.2307/1968692|first=J. |last=von Neumann |title=On a Certain Topology for Rings of Operators|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=37|issue= 1 |year= 1936|pages= 111–115|jstor=1968692}}. This defines the ultrastrong topology.
*{{citation|first=J. |last=von Neumann|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__1_0 |title=On infinite direct products |journal=  Compos. Math. |volume= 6  |year=1938| pages=  1–77}}. This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
*{{citation|first=J. |last=von Neumann |title= On rings of operators III|journal=  Annals of Mathematics | series = Second Series |volume= 41  |year=1940|pages= 94–161| doi=10.2307/1968823| jstor=1968823 |issue=1}}. This shows the existence of factors of type III. 
*{{citation|doi=10.2307/1969106|first=J. |last=von Neumann |title=On Some Algebraical Properties of Operator Rings|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=  44|issue= 4 |year= 1943|pages= 709–715|jstor=1969106}}. This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically. 
*{{citation|doi=10.2307/1969463|first=J. |last=von Neumann |title=On Rings of Operators. Reduction Theory|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume= 50|issue= 2 |year= 1949|pages= 401–485|jstor=1969463}}. This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
*{{citation|last=von Neumann|first= John|title= Collected Works, Volume III: Rings of Operators|editor-first= A.H.|editor-last= Taub|location= NY |publisher=Pergamon Press|year= 1961}}. Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.
*{{citation|first=A. J. |last=Wassermann|author-link=Antony Wassermann|year=1991|url=http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/OHS.ps |title=Operators on Hilbert space}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Operator theory]]
[[Kategori:Von Neumann algebras|*]]
[[Kategori:John von Neumann]]