Lihat sumber Aljabar universal

'''Aljabar universal''' (kadang disebut '''aljabar umum''') adalah bidang [[matematika]] yang mempelajari [[struktur aljabar]] itu sendiri, bukan contoh ("model") dari struktur aljabar.
Misalnya, daripada mengambil [[grup (matematika)|grup]] tertentu sebagai objek studi, dalam aljabar universal seseorang mengambil [[kelas grup]] sebagai objek studi.

== Ide dasar ==
Dalam aljabar universal, sebuah '''aljabar''' (atau '''aljabar [[Struktur (logika matematika)|struktur]]''') adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''A'' bersama dengan kumpulan operasi pada ''A''.  '''''n''-[[ariti|ary]] [[operasi (matematika)|operasi]]''' pada ''A'' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang membutuhkan '' n '' elemen '' A '' dan mengembalikan satu elemen '' A ''.  Jadi, operasi 0-ary (atau '' operasi nullari '') dapat direpresentasikan secara sederhana sebagai elemen '' A '', atau '' [[Konstanta (matematika)|konstanta]] '', sering dilambangkan dengan surat seperti '' a ''.  Operasi 1-ari (atau '' [[operasi uner]] '') hanyalah fungsi dari '' A '' hingga '' A '', sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di depan argumennya, seperti ~''x''.  Operasi 2-ary (atau '' [[operasi biner]] '') sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di antara argumennya, seperti '' x '' ∗ '' y ''.  Operasi '' [[ariti]] '' yang lebih tinggi atau tidak ditentukan biasanya dilambangkan dengan simbol fungsi, dengan argumen ditempatkan dalam tanda kurung dan dipisahkan dengan koma, seperti ''f''(''x'',''y'',''z'') atau ''f''(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>).  Beberapa peneliti mengizinkan operasi [[infiniter]], seperti <math>\textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha</math> di mana '' J '' adalah [[himpunan indeks]] tak terhingga, sehingga mengarah ke teori aljabar [[kisi kompleks]].  Maka, salah satu cara untuk membicarakan aljabar adalah dengan menyebutnya sebagai [[Garis Besar struktur aljabar#Jenis struktur aljabar|Aljabar Jenis Tertentu]] <math>\Omega</math>, dimana <math>\Omega</math> adalah urutan bilangan asli yang mewakili aritas operasi aljabar.

=== Persamaan ===
Setelah operasi ditentukan, sifat aljabar selanjutnya ditentukan oleh [[aksioma]], yang dalam aljabar universal sering mengambil bentuk [[Identitas (matematika)#Logika dan aljabar universal|identitas]], atau '''hukum persamaan.'''  Contohnya adalah aksioma [[asosiatif]] untuk operasi biner, yang diberikan oleh persamaan '' x '' ∗ ('' y '' ∗ '' z '') = ('' x '' ∗ '' y '') ∗ '' z ''.

== Varietas ==
{{Main|Varietas (aljabar universal)}}

Kumpulan struktur aljabar yang ditentukan oleh identitas disebut sebagai [[Varietas (aljabar universal)|variasi]] atau '''kelas persamaan'''. Beberapa penulis menganggap varietas sebagai fokus utama aljabar universal.{{Citation needed|date=Desember 2020}}

Membatasi studi seseorang pada varietas mengesampingkan:

* [[Kuantifikasi (logika)|Kuantifikasi]], termasuk [[kuantifikasi universal]] (<math>\forall</math>) kecuali sebelum persamaan, dan [[kuantifikasi eksistensial]] (<math>\exists</math>), serta [[logika predikat]] 
* [[Hubungan finiter|hubungan]] selain persamaan, khususnya [[pertidaksamaan (matematika)|pertidaksamaan]], keduanya {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}} dan [[Teori order|relasi order]]

Studi tentang kelas persamaan dapat dilihat sebagai cabang khusus dari [[teori model]], biasanya berurusan dengan struktur yang hanya memiliki operasi (yaitu [[tanda tangan (logika)|jenis]] dapat memiliki simbol untuk fungsi tetapi tidak untuk [[Relasi finiter|hubungan]] selain persamaan), dan di mana bahasa yang digunakan untuk berbicara tentang struktur ini menggunakan persamaan saja.

Tidak semua [[struktur aljabar]] dalam arti yang lebih luas termasuk dalam lingkup ini. Misalnya, [[grup terurut]] melibatkan relasi pengurutan, jadi tidak akan termasuk dalam cakupan ini.

Kelas dari [[bidang (matematika)|bidang]] bukanlah kelas persamaan karena tidak ada tipe (atau "tanda tangan") di mana semua hukum bidang dapat dituliskan sebagai persamaan (inversi elemen didefinisikan untuk semua elemen '' bukan nol '' dalam bidang, jadi inversi tidak dapat ditambahkan ke jenis).

Satu keuntungan dari pembatasan ini adalah bahwa struktur yang dipelajari dalam aljabar universal dapat didefinisikan dalam [[teori kategori|kategori]] yang memiliki ''hingga [[produk (teori kategori)|produk]]''. Misalnya, [[grup topologi]] hanyalah grup dalam kategori [[ruang topologi]].

=== Contoh ===
Sebagian besar sistem aljabar matematika biasa adalah contoh varietas, tetapi tidak selalu dengan cara yang jelas, karena definisi biasa sering kali melibatkan penghitungan atau ketidaksamaan.

==== Grup ====
Sebagai contoh, perhatikan definisi dari sebuah [[grup (matematika)|grup]]. Biasanya sebuah grup didefinisikan dalam operasi biner tunggal ∗, tunduk pada aksioma:

* [[Asosiatif]] (seperti pada [[#Persamaan|bagian sebelumnya]]):  ''x''&nbsp;∗&nbsp;(''y''&nbsp;∗&nbsp;''z'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp; (''x''&nbsp;∗&nbsp;''y'')&nbsp;∗&nbsp;''z''; &nbsp; secara resmi: ∀''x'',''y'',''z''. ''x''∗(''y''∗''z'')=(''x''∗''y'')∗''z''.
* [[Elemen identitas]]: Terdapat elemen '' e '' sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen '' x '', satu memiliki ''e''&nbsp;∗&nbsp;''x''&nbsp;&nbsp;=&nbsp; ''x''&nbsp;&nbsp;=&nbsp; ''x''&nbsp;∗&nbsp;''e''; &nbsp; secara resmi: ∃''e'' ∀''x''. ''e''∗''x''=''x''=''x''∗''e''.
* [[Elemen invers]]: Elemen identitas mudah dilihat sebagai unik, dan biasanya dilambangkan dengan '' e ''. Kemudian untuk setiap '' x '', terdapat elemen '' i '' sedemikian rupa ''x''&nbsp;∗&nbsp;''i''&nbsp;&nbsp;=&nbsp; ''e''&nbsp;&nbsp;=&nbsp; ''i''&nbsp;∗&nbsp;''x''; &nbsp; secara resmi: ∀''x'' ∃''i''. ''x''∗''i''=''e''=''i''∗''x''.

(Beberapa penulis juga menggunakan aksioma "[[Penutupan (matematika)|penutupan]]" bahwa '' x '' ∗ '' y '' milik '' A '' setiap kali '' x '' dan '' y '' lakukan, tapi di sini ini sudah tersirat dengan merumuskan biner ∗.

Definisi grup ini tidak langsung sesuai dengan sudut pandang aljabar universal, karena aksioma elemen identitas dan inversi tidak dinyatakan murni dalam istilah hukum persamaan yang memegang secara universal elemen "untuk semua ...", tetapi juga melibatkan bilangan eksistensial.  Aksioma grup dapat diutarakan sebagai persamaan yang dikuantifikasi secara universal dengan menentukan, selain operasi biner ∗, operasi nullary '' e '' dan operasi unary ~, dengan ~''x'' biasanya ditulis sebagai ''x''<sup>−1</sup>. Aksioma menjadi:

* Asosiatif:  {{nowrap|1=''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'') &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|(''x'' ∗ ''y'') ∗ ''z''}}.
* Elemen identitas:  {{nowrap|1=''e'' ∗ ''x'' &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|1=''x'' &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|''x'' ∗ ''e''}}; secara resmi: ∀''x''. ''e''∗''x''=''x''=''x''∗''e''.
* Elemen invers:  {{nowrap|1=''x'' ∗ (~''x'') &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|1=''e'' &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|(~''x'') ∗ ''x''}} &nbsp; secara resmi: ∀''x''. ''x''∗~''x''=''e''=~''x''∗''x''.

Untuk meringkas, definisi biasa memiliki:

* operasi biner tunggal ([[tanda tangan (logika)|tanda tangan]] (2))
* 1 hukum persamaan (asosiatif)
* 2 hukum terukur (identitas dan invers)
sedangkan definisi aljabar universal memiliki:
* 3 operasi: satu biner, satu unary, dan satu nullary ([[tanda tangan (logika)|tanda tangan]] (2,1,0))
* 3 hukum persamaan (asosiativitas, identitas, dan kebalikan)
* tidak ada hukum terukur (kecuali bilangan universal terluar, yang diperbolehkan dalam varietas)

Poin utamanya adalah bahwa operasi tambahan tidak menambahkan informasi, tetapi mengikuti secara unik dari definisi grup yang biasa. Meskipun definisi biasa tidak secara unik menentukan elemen identitas '' e '', latihan mudah menunjukkannya unik, seperti halnya masing-masing [[elemen invers]].

Sudut pandang aljabar universal disesuaikan dengan baik dengan teori kategori. Misalnya, ketika mendefinisikan [[objek grup]] dalam teori kategori, di mana objek yang dimaksud mungkin bukan himpunan, seseorang harus menggunakan hukum persamaan (yang masuk akal dalam kategori umum), daripada hukum terkuantifikasi (yang mengacu pada elemen individu). Selanjutnya, kebalikan dan identitas ditentukan sebagai morfisme dalam kategori. Misalnya, dalam sebuah [[grup topologi]], invers tidak hanya harus ada berdasarkan elemen, tetapi harus memberikan pemetaan berkelanjutan (morfisme). Beberapa penulis juga mensyaratkan peta identitas menjadi [[inklusi tertutup]] ([[kofibrasi]]).

==== Contoh lainnya ====
Kebanyakan struktur aljabar adalah contoh aljabar universal.

* [[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]], [[semigrup]], [[kuasigrup]], [[grupoid]], [[Magma (matematika)|magma]], [[Loop (aljabar)|loop]], dan lain-lain.
* [[Ruang vektor]] di atas bidang tetap dan [[modul (matematika)|modul]] di atas gelanggang tetap adalah aljabar universal. Ini memiliki penjumlahan biner dan keluarga operator perkalian skalar unary, satu untuk setiap elemen bidang atau gelanggang.

Contoh aljabar relasional termasuk [[semikisi]], [[kisi (urutan)|kisi]], dan [[Aljabar Boolean]].

== Konstruksi dasar ==
Kami berasumsi bahwa tipe, <math>\Omega</math>, telah diperbaiki. Kemudian ada tiga konstruksi dasar dalam aljabar universal: citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali.

[[Homomorfisme]] antara dua aljabar '' A '' dan '' B '' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] '' h '': ''A''&nbsp;→&nbsp;''B'' dari himpunan A ke himpunan B sedemikian rupa, untuk setiap operasi ''f''<sub>''A''</sub> dari A dan yang sesuai ''f''<sub>''B''</sub> dari B (ariti, ditulis, '' n ''), ''h''(''f''<sub>''A''</sub>(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>))&nbsp;= ''f''<sub>''B''</sub>(''h''(''x''<sub>1</sub>),...,''h''(''x''<sub>''n''</sub>)).  (Kadang-kadang subskrip pada '' f '' dihapus ketika jelas dari konteks dari mana aljabar fungsi tersebut berasal.) Misalnya, jika '' e '' adalah konstanta (operasi nullary), maka ''h''(''e''<sub>''A''</sub>)&nbsp;=&nbsp;''e''<sub>''B''</sub>.  If ~ adalah operasi unari, maka ''h''(~''x'')&nbsp;= ~''h''(''x'').  Jika ∗ adalah operasi biner, maka ''h''(''x''&nbsp;∗&nbsp;''y'')&nbsp;= ''h''(''x'')&nbsp;∗&nbsp;''h''(''y'').  Dan seterusnya. Beberapa hal yang dapat dilakukan dengan homomorfisme, serta definisi jenis khusus homomorfisme tertentu, terdaftar di bawah entri [[Homomorfisme]]. Secara khusus, kita dapat mengambil citra homomorfik dari sebuah aljabar, ''h''(''A'').

Subaljabar dari '' A '' adalah himpunan bagian dari '' A '' yang ditutup di bawah semua operasi '' A ''.  Produk dari beberapa himpunan struktur aljabar adalah [[produk Kartesius]] dari himpunan dengan operasi yang ditentukan secara koordinat.

== Beberapa teorema dasar ==
* [[Teorema isomorfisme]], yang mencakup teorema isomorfisme [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[Modul (matematika)|modul]], dll.
* [[Varietas (aljabar universal)#Teorema Birkhoff|Teorema HSP Birkhoff]], yang menyatakan bahwa kelas aljabar adalah [[ragam (aljabar universal)|ragam]] jika dan hanya jika ditutup di bawah gambar homomorfik, subaljabar, dan produk langsung sembarang.

== Motivasi dan Aplikasi ==
{{Unreferenced section|date=Desember 2020}}

Selain pendekatan pemersatu, aljabar universal juga memberikan teorema yang dalam serta contoh dan contoh tandingan yang penting. Ini memberikan kerangka kerja yang berguna bagi mereka yang berniat untuk memulai studi kelas baru aljabar.
Ini dapat memungkinkan penggunaan metode yang ditemukan untuk beberapa kelas aljabar tertentu ke kelas aljabar lain, dengan menyusun kembali metode dalam istilah aljabar universal (jika mungkin), dan kemudian menafsirkannya seperti yang diterapkan pada kelas lain. Ini juga memberikan klarifikasi konseptual; sebagai J.D.H. Smith mengatakannya,: {{quote|''"Apa yang terlihat berantakan dan rumit dalam kerangka kerja tertentu mungkin berubah menjadi sederhana dan jelas dalam kerangka umum yang tepat."''|J.D.H. Smith}}

Secara khusus, aljabar universal dapat diterapkan untuk mempelajari [[monoid]], [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], dan [[kisi (urutan)|kisi]].  Sebelum aljabar universal muncul, banyak teorema (terutama [[teorema isomorfisme]]) telah dibuktikan secara terpisah di semua kelas ini, tetapi dengan aljabar universal, mereka dapat dibuktikan sekali dan untuk selamanya untuk setiap jenis sistem aljabar.

Makalah 1956 oleh Higgins yang dirujuk di bawah ini telah ditindaklanjuti dengan baik untuk kerangka kerjanya untuk berbagai sistem aljabar tertentu, sementara makalahnya pada tahun 1963 terkenal karena pembahasannya tentang aljabar dengan operasi yang hanya didefinisikan sebagian, contoh khas untuk ini adalah kategori dan grupoid. Hal ini mengarah pada subjek [[aljabar berdimensi lebih tinggi]] yang dapat didefinisikan sebagai studi teori aljabar dengan operasi parsial yang domainnya ditentukan dalam kondisi geometris. Contoh penting dari ini adalah berbagai bentuk kategori dan groupoids berdimensi lebih tinggi.

=== Masalah kepuasan kendala ===
{{Main|Masalah kepuasan kendala}}

Aljabar universal menyediakan bahasa alami untuk [[masalah kepuasan kendala | masalah kepuasan kendala (CSP)]]. CSP merujuk ke kelas penting dari masalah komputasi yang diberi aljabar relasional {{mvar | A}} dan eksistensial [[kalimat (logika matematika)|kalimat]] <math>\varphi</math> di atas aljabar ini, pertanyaannya adalah mencari tahu apakah <math>\varphi</math> bisa dipenuhi di {{mvar | A}}. Aljabar {{mvar | A}} sering kali diperbaiki, sehingga {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} mengacu pada masalah yang instansinya hanya kalimat eksistensial <math>\varphi</math>.

Terbukti bahwa setiap masalah komputasi dapat dirumuskan sebagai {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} untuk beberapa aljabar {{mvar | A}}.

Sebagai contoh, masalah [[mewarnai grafik|'' n ''-warna]] dapat dinyatakan sebagai CSP dari aljabar <math>\big(\{0,1,\dots,n-1\}, \neq\big)</math>, i.e. sebuah aljabar dengan elemen <math> n </math> dan satu relasi, pertidaksamaan.

Dugaan dikotomi (dibuktikan pada April 2017) menyatakan bahwa jika {{mvar | A}} adalah aljabar berhingga, maka {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} bisa berupa [[P (kompleksitas)|P]] atau [[kompleks-NP]].<ref>{{cite arXiv | last = Zhuk | first = Dmitriy | title = The Proof of CSP Dichotomy Conjecture | eprint = 1704.01914 | date = 2017 | class = cs.cc}}</ref>

== Sejarah ==
Dalam buku [[Alfred North Whitehead]] '' A Treatise on Universal Algebra, '' yang diterbitkan pada tahun 1898, istilah '' aljabar universal '' pada dasarnya memiliki arti yang sama dengan yang dimilikinya saat ini. Whitehead memuji [[William Rowan Hamilton]] dan [[Augustus De Morgan]] sebagai pencetus materi pelajaran, dan [[James Joseph Sylvester]] dengan menciptakan istilah itu sendiri.<ref name="Gratzer.1968">{{cite book | author=George Grätzer | editor=M.H. Stone and L. Nirenberg and S.S. Chern | title=Universal Algebra | publisher=Van Nostrand Co., Inc | edition=1st | year=1968 }}</ref>{{rp|v}}

Pada saat struktur seperti [[Lie aljabar]] s dan [[quaternion hiperbolik]] s menarik perhatian pada kebutuhan untuk memperluas struktur aljabar di luar kelas perkalian asosiatif. Dalam sebuah ulasan [[Alexander Macfarlane]] menulis: "Ide utama dari karya ini bukanlah penyatuan beberapa metode, atau generalisasi aljabar biasa untuk memasukkannya, melainkan studi komparatif dari beberapa struktur mereka."<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1899) [https://archive.org/details/jstor-1626993 Review:''A Treatise on Universal Algebra'' (pdf)], [[Science (journal)|Science]] 9: 324–8 via [[Internet Archive]]</ref> Pada saat itu, aljabar logika [[George Boole]] membuat tandingan yang kuat dengan aljabar bilangan biasa, sehingga istilah "universal" berfungsi untuk menenangkan perasaan tegang.

Karya awal Whitehead berusaha untuk menyatukan [[kuaternion]] (karena Hamilton), [[Aljabar Eksterior#Sejarah|Ausdehnungslehre]], dan aljabar logika Boole. Whitehead menulis dalam bukunya:
:{{quote|''"Aljabar semacam itu memiliki nilai intrinsik untuk studi terperinci yang terpisah; juga mereka layak untuk studi banding, demi cahaya dengan demikian dilemparkan pada teori umum penalaran simbolik, dan simbolisme aljabar pada khususnya. Studi banding perlu mengandaikan beberapa studi terpisah sebelumnya, perbandingan tidak mungkin tanpa pengetahuan."''<ref name="Gratzer.1968"/>|Whitehead}}

Whitehead, bagaimanapun, tidak memiliki hasil yang bersifat umum. Pekerjaan pada subjek itu minimal sampai awal 1930-an, ketika [[Garrett Birkhoff]] dan [[Øystein Ore]] mulai menerbitkan aljabar universal.  Perkembangan dalam [[metamathematics]] dan [[teori kategori]] pada 1940-an dan 1950-an memajukan bidang tersebut, terutama karya [[Abraham Robinson]], [[Alfred Tarski]], [[Andrzej Mostowski]], dan siswa lain.<ref>Brainerd, Barron (Aug–Sep 1967) "Review of ''Universal Algebra'' by [[P. M. Cohn]]", [[American Mathematical Monthly]] 74(7): 878–880.</ref>

Pada periode antara 1935 dan 1950, sebagian besar makalah ditulis sesuai dengan yang disarankan oleh makalah Birkhoff, berhubungan dengan [[Objek bebas|aljabar bebas]], kesesuaian dan kisi subaljabar, dan teorema homomorfisme. Meskipun perkembangan logika matematika telah memungkinkan penerapan aljabar, hal itu terjadi dengan lambat; hasil yang diterbitkan oleh [[Anatoly Maltsev]] pada tahun 1940-an tidak diketahui karena perang. Kuliah Tarski di tahun 1950 [[Kongres Internasional Matematikawan]] di Cambridge mengantarkan periode baru di mana aspek model-teori dikembangkan, terutama oleh Tarski sendiri, serta C.C. Chang, [[Leon Henkin]], [[Bjarni Jónsson]], [[Roger Lyndon]], dan lainnya.

Pada akhir 1950-an, [[Edward Marczewski]]<ref>Marczewski, E. "A general scheme of the notions of independence in mathematics." Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. '''6''' (1958), 731–736.</ref> menekankan pentingnya aljabar bebas, yang mengarah ke publikasi lebih dari 50 makalah tentang teori aljabar aljabar bebas oleh Marczewski sendiri, bersama dengan [[Jan Mycielski]], Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, [[Kazimierz Urbanik|K. Urbanik]], dan lainnya.

Dimulai dengan tesis [[William Lawvere]] pada tahun 1963, teknik dari teori kategori telah menjadi penting dalam aljabar universal.<ref>{{Citation|last1=Lawvere|first1=William F.|author-link=William Lawvere|date=1964|title=Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)|url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html}}</ref>

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Aljabar grafik]]
* [[Aljabar istilah]]
* [[Klon (aljabar)|Klon]]
* [[Geometri aljabar universal]]
<!-- Bagaimana relevan? * [[Teori Representasi]]-->
* [[Aljabar universal sederhana]]

== Catatan kaki ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
* Bergman, George M., 1998. ''[http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/ An Invitation to General Algebra and Universal Constructions]'' (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp.&nbsp;{{isbn|0-9655211-4-1}}.
* Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. ''Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques'', University of Toronto Press, Toronto, pp.&nbsp;310–326.
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra]''  Springer-Verlag. {{isbn|3-540-90578-2}} ''Free online edition''.
* Cohn, Paul Moritz, 1981. ''Universal Algebra''. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. {{isbn|90-277-1213-1}} ''(First published in 1965 by Harper & Row)''
* Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. ''[http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Commutator Commutator Theory for Congruence Modular Varieties], 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. {{isbn|0-521-34832-3}}. Free online second edition''.
* Grätzer, George, 1968. ''Universal Algebra'' D. Van Nostrand Company, Inc.
* Higgins, P. J. [https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-6.3.366 Groups with multiple operators] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220307143342/https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-6.3.366 |date=2022-03-07 }}. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
* Higgins, P.J.,  Algebras with a scheme of operators. ''[[Mathematische Nachrichten]]'' (27) (1963) 115–132.
* Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. ''[http://www.ams.org/books/conm/076/ The Structure of Finite Algebras]'' American Mathematical Society. {{isbn|0-8218-3400-2}}. ''Free online edition.''
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. {{isbn|0-387-56314-8}}. ''Free online edition''.
* Pigozzi, Don. ''[http://people.math.sc.edu/mcnulty/alglatvar/pigozzinotes.pdf General Theory of Algebras]''.  ''Free online edition.''
* Smith, J.D.H., 1976.  ''Mal'cev Varieties'', Springer-Verlag.
* [[Alfred North Whitehead|Whitehead, Alfred North]], 1898.  ''[http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=01950001&seq=5 A Treatise on Universal Algebra]'', Cambridge.  (''Mainly of historical interest.'')

== Pranala luar ==
* [https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/journal/12 ''Algebra Universalis'']—jurnal yang didedikasikan untuk Aljabar Universal.

{{DEFAULTSORT:Universal Algebra}}
[[Kategori:Aljabar universal| ]]