Lihat sumber Aljabar nonasosiatif

{{About|struktur tertentu yang dikenal sebagai aljabar nonasosiatif|sifat nonasosiatif secara umum|Sifat asosiatif#Operasi nonasosiatif{{!}}sifat nonasosiatif}}
{{Teori gelanggang sidebar}}
Sebuah '''aljabar nonasosiatif'''{{sfn|Schafer|1995|loc=Bab 1}} (atau '''aljabar distributif''') adalah [[aljabar atas medan]] dimana [[operasi biner|operasi perkalian biner]] tidak beranggap sebagai [[operasi asosiatif|asosiatif]]. Artinya, [[struktur aljabar]] ''A'' adalah aljabar nonasosiatif atas [[medan (matematika)|medan]] ''K'' jika itu adalah [[ruang vektor]] atas ''K'' dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner [[peta bilinear|bilinear]]-''K'' pada ''A'' × ''A'' → ''A'' yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk [[aljabar Lie]], [[aljabar Jordan]], [[oktonion]], dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi [[produk silang]]. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (''ab'')(''cd''), (''a''(''bc''))''d'' dan ''a''(''b''(''cd'')) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.

Meskipun penggunaan "nonasosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "nonasosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk [[gelanggang nonkomutatif]].

Aljabar adalah ''[[aljabar unital|unital]]'' atau ''uniter'' jika memiliki [[elemen identitas]] ''e'' dengan ''ex'' = ''x'' = ''xe'' untuk semua ''x'' dalam aljabar. Misalnya, [[oktonion]] adalah unital, namun [[aljabar Lie]] bukan unital.

Struktur aljabar nonasosiatif dari ''A'' dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh [[endomorfisme]]-''K'' pada ''A'' sebagai ruang vektor ''K''.  Dua seperti itu adalah '''[[aljabar turunan]]''' dan '''(asosiatif) aljabar menyelubungi''', yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil ''A''".

Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar nonasosiatif atas [[gelanggang komutatif]] ''R'': Sebuah [[Modul (matematika)|modul-''R'']] kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-''R''.{{sfn|Schafer|1995|p=1}} Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar ''R''), maka secara alami adalah sebuah aljabar-<math>\mathbb{Z}</math>, jadi beberapa penulis menyebut aljabar-<math>\mathbb{Z}</math> nonasosiatif sebagai '''gelanggang nonasosiatif'''.

{{Struktur aljabar |Aljabar}}

== Aljabar dengan identitas ==

Struktur seperti gelanggang dengan dua operasi biner dan tidak ada batasan lain adalah kelas yang luas, yang terlalu umum untuk dipelajari.
Untuk alasan ini, jenis aljabar nonasosiatif yang terkenal memenuhi [[identitas (matematika)|identitas]], atau sifat, yang menyederhanakan perkalian.
Ini termasuk yang berikut.

=== Sifat biasa ===

Misalkan {{mvar|x}}, {{mvar|y}} dan {{mvar|z}} menyatakan elemen arbitrer aljabar {{mvar|A}} atas medan {{mvar|K}}.
Misal pangkat ke bilangan bulat positif (bukan nol) didefinisikan secara rekursif oleh {{math|''x''{{sup|1}} ≝ ''x''}} dan lainnya {{math|''x''{{sup|''n''+1}} ≝ ''x''{{sup|''n''}}''x''}}{{sfn|Albert|1948a|p=553}} (pangkat kanan) atau {{math|''x''{{sup|''n''+1}} ≝ ''xx''{{sup|''n''}}}}{{sfn|Schafer|1995|p=30}}{{sfn|Schafer|1995|p=128}} (pangkat kiri) tergantung pada penulis.

* [[Aljabar unital|Unital]]: apabila terdapat elemen {{mvar|e}} sehingga {{math|''ex'' {{=}} ''x'' {{=}} ''xe''}}; dalam hal ini kita dapat mendefinisikan {{math|''x''{{sup|0}} ≝ ''e''}}.
* [[Asosiatif]]: {{math|(''xy'')''z'' {{=}} ''x''(''yz'')}}.
* [[Komutatif]]: {{math|''xy'' {{=}} ''yx''}}.
* [[Antikomutatif]]:{{sfn|Schafer|1995|p=3}} {{math|''xy'' {{=}} −''yx''}}.
* [[Identitas Jacobi]]:{{sfn|Schafer|1995|p=3}}{{sfn|Okubo|2005|p=12}} {{math|(''xy'')''z'' + (''yz'')''x'' + (''zx'')''y'' {{=}} 0}} atau {{math|''x''(''yz'') + ''y''(''zx'') + ''z''(''xy'') {{=}} 0}} tergantung pada penulisannya.
* [[Identitas Jordan]]:{{sfn|Schafer|1995|p=91}}{{sfn|Okubo|2005|p=13}} {{math|(''x''{{sup|2}}''y'')''x'' {{=}} ''x''{{sup|2}}(''yx'')}} atau {{math|(''xy'')''x''{{sup|2}} {{=}} ''x''(''yx''{{sup|2}})}} tergantung pada penulisannya.
* [[Aljabar alternatif|Alternatif]]:{{sfn|Schafer|1995|p=5}}{{sfn|Okubo|2005|p=18}}{{sfn|McCrimmon|2004|p=153}} {{math|(''xx'')''y'' {{=}} ''x''(''xy'')}} (alternatif kiri) dan {{math|(''yx'')''x'' {{=}} ''y''(''xx'')}} (alternatif kanan).
* [[Aljabar fleksibel|Fleksibel]]:{{sfn|Schafer|1995|p=28}}{{sfn|Okubo|2005|p=16}} {{math|(''xy'')''x'' {{=}} ''x''(''yx'')}}.
* Asosiasi pangkat ke-{{mvar|n}} pada {{math|''n'' ≥ 2}}: {{math|''x''{{sup|''n−k''}}''x''{{sup|''k''}} {{=}} ''x''{{sup|''n''}}}} untuk semua bilangan bulat {{mvar|k}} sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}.
** Asosiatif pangkat ketiga: {{math|''x''{{sup|2}}''x'' {{=}} ''xx''{{sup|2}}}}.
** Asosiatif pangkat keempat: {{math|''x''{{sup|3}}''x'' {{=}} ''x''{{sup|2}}''x''{{sup|2}} {{=}} ''xx''{{sup|3}}}} (bandingkan dengan ''komutatif pangkat empat'' di bawah).
* [[Asosiatif pangkat]]:{{sfn|Schafer|1995|p=30}}{{sfn|Schafer|1995|p=128}}{{sfn|Okubo|2005|p=17}}{{sfn|Knus|Merkurjev|Rost|Tignol|1998|p=451}}{{sfn|Albert|1948a|p=553}} subaljabar yang dihasilkan oleh elemen adalah asosiatif, yaitu, ''asosiasi pangkat {{mvar|n}}'' untuk semua {{math|''n'' ≥ 2}}.
* Pangkat komutatif ke-{{mvar|n}} pada {{math|''n'' ≥ 2}}: {{math|''x''{{sup|''n−k''}}''x''{{sup|''k''}} {{=}} ''x''{{sup|''k''}}''x''{{sup|''n−k''}}}} untuk semua bilangan bulat {{mvar|k}} sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}.
** Komutatif pangkat ketiga: {{math|''x''{{sup|2}}''x'' {{=}} ''xx''{{sup|2}}}}.
** Komutatif pangkat keempat: {{math|''x''{{sup|3}}''x'' {{=}} ''xx''{{sup|3}}}} (bandingkan dengan ''asosiatif pangkat keempat'' atas).
* Komutatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen apa pun adalah komutatif, yaitu, ''komutatif pangkat {{mvar|n}}'' untuk semua {{math|''n'' ≥ 2}}.
* [[Aljabar nilpoten|Nilpoten]] dari indeks {{math|''n'' ≥ 2}}: produk dari elemen {{mvar|n}}, dalam asosiasi, tidak untuk beberapa elemen {{math|''n''−1}}: {{math|''x''{{sub|1}}''x''{{sub|2}}…''x''{{sub|''n''}} {{=}} 0}} dan terdapat elemen {{math|''n''−1}} sehingga {{math|''y''{{sub|1}}''y''{{sub|2}}…''y''{{sub|''n''−1}} ≠ 0}} untuk asosiasi tertentu.
* [[Aljabar nol|Nol]] dari indeks {{math|''n'' ≥ 2}}: ''pangkat asosiatif'' dan {{math|''x''{{sup|''n''}} {{=}} 0}} dan apabila elemen {{mvar|y}} sehingga {{math|''y''{{sup|''n''−1}} ≠ 0}}.

=== Relasi diantara sifat ===

Untuk {{mvar|K}} dari [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]]:
* ''Asosiatif'' adalah ''alternatif''.
* Setiap dua dari tiga sifat ''alternatif kiri'', ''alternatif kanan'', dan ''fleksibel'', adalah yang ketiga.
** Jadi, ''alternatif'' adalah ''fleksibel''.
* ''Alternatif'' adalah ''identitas Jordan''.{{sfn|Rosenfeld|1997|p=91}}{{efn|name=Artin|Ini mengikuti dari [[teorema Artin]].}}
* ''Komutatif'' adalah ''fleksibel''.
* ''Antikomutatif'' adalah ''fleksibel''.
* ''Alternatif'' adalah ''pangkat asosiatif''.{{efn|name=Artin}}
* ''Fleksibel'' adalah ''pangkat asosiatif ketiga''.
* ''Pangkat asosiatif kedua'' dan ''pangkat komutatif kedua'' adalah hakiki.
* ''Pangkat asosiatif ketiga'' dan ''pangkat komutatif ketiga'' adalah ekuivalen.
* ''Pangkat asosiasi ke-{{mvar|n}}'' adalah ''pangkat komutatif ke-{{mvar|n}} ''.
* ''Nok dari indeks 2'' adalah ''antikomutatif''.
* ''Nol dari indeks 2'' adalah ''identitas Jordan''.
* ''Nilpoten indeks 3'' adalah ''identitas Jacobi''.
* ''Nilpoten indeks {{mvar|n}}'' adalah ''nol indeks {{mvar|N}}'' dengan {{math|2 ≤ ''N'' ≤ ''n''}}.
* ''Unital'' dan ''nol indeks {{mvar|n}}'' bukan kompatibel.

Jika {{math|''K'' ≠ [[GF(2)]]}} atau {{math|dim(''A'') ≤ 3}}:
* ''Identitas Jordan'' dan ''komutatif'' adalah ''pangkat asosiatif''.{{sfn|Jacobson|1968|p=36}}{{sfn|Schafer|1995|p=92}}{{sfn|Kokoris|1955|p=710}}{{citation needed|reason=Makalah yang membahas kasus GF(2) belum diterbitkan, tunggu saja.|date=Oktober 2020}}

Jika {{math|char(''K'') ≠ 2}}:
* ''Alternatif kanan'' adalah ''pangkat asosiatif''.{{sfn|Albert|1948b|p=319}}{{sfn|Mikheev|1976|p=179}}{{sfn|Zhevlakov|Slin'ko|Shestakov|Shirshov|1982|p=343}}{{sfn|Schafer|1995|p=148}}
** Demikian pula, ''alternatif kiri'' adalah ''kekuatan asosiatif''.
* ''Unital '' dan '' identitas Jordan'' adalah ''fleksibel''.{{sfn|Bremner|Murakami|Shestakov|2013|p=18}}
* ''Identitas Jordan'' dan ''fleksibel'' adalah ''pangkat asosiatif''.{{sfn|Bremner|Murakami|Shestakov|2013|pp=18–19|loc=fact 6}}
* ''Komutatif'' dan ''antikomutatif'' adalah ''nilpoten indeks 2''.
* ''Antikomutatif'' adalah ''nol dari indeks 2''.
* ''Unital'' dan ''antikomutatif'' bukan kompatibel.

Jika {{math|char(''K'') ≠ 3}}:
* ''Unital'' dan ''identitas Jacobi'' bukan kompatibel.

Jika {{math|char(''K'') ∉ {2,3,5}}}:
* ''Komutatif'' dan {{math|''x''{{sup|4}} {{=}} ''x''{{sup|2}}''x''{{sup|2}}}} (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan ''pangkat asosiatif keempat'') adalah ''pangkat asosiatif''.{{sfn|Albert|1948a|p=554|loc=lemma 4}}

Jika {{math|char(''K'') {{=}} 0}}:
* ''Pangkat asosiatif ketiga'' dan {{math|''x''{{sup|4}} {{=}} ''x''{{sup|2}}''x''{{sup|2}}}} (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan ''pangkat asosiatif keempat'') adalah ''pangkat asosiatif''.{{sfn|Albert|1948a|p=554|loc=lemma 3}}

Jika {{math|char(''K'') {{=}} 2}}:
* ''Komutatif'' dan ''antikomutatif'' adalah ekuivalen.

=== Asosiasi ===
{{Main|Asosiasi}}

'''Asosiasi''' pada ''A'' adalah [[peta multilinear]]-''K'' <math>[\cdot,\cdot,\cdot] : A \times A \times A \to A</math> diberikan oleh

: {{math|[''x'',''y'',''z''] {{=}} (''xy'')''z'' − ''x''(''yz'')}}.

Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari <math>A</math>, dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh ''A''.

Misalkan {{mvar|x}}, {{mvar|y}} dan {{mvar|z}} menyatakan elemen aljabar sebarang.
* Asosiatif: {{math|[''x'',''y'',''z''] {{=}} 0}}.
* Alternatif: {{math|[''x'',''x'',''y''] {{=}} 0}} (alternatif kiri) dan {{math|[''y'',''x'',''x''] {{=}} 0}} (alternatif kanan).
** Ini menyatakan bahwa mengubah dua suku maka hal itu mengubah tanda: {{math|[''x'',''y'',''z''] {{=}} −[''x'',''z'',''y''] {{=}} −[''z'',''y'',''x''] {{=}} −[''y'',''x'',''z'']}}; konversinya hanya berlaku jika {{math|char(''K'') ≠ 2}}.
* Fleksibel: {{math|[''x'',''y'',''x''] {{=}} 0}}.
** Ini menyatakan bahwa mengubah istilah ekstrem mengubah tanda: {{math|[''x'',''y'',''z''] {{=}} −[''z'',''y'',''x'']}}; konversinya hanya berlaku jika {{math|char(''K'') ≠ 2}}.
* Identitas Jordan:{{sfn|Schafer|1995|p=14}} {{math|[''x''{{sup|2}},''y'',''x''] {{=}} 0}} atau {{math|[''x'',''y'',''x''{{sup|2}}] {{=}} 0}} tergantung penulisannya.
* Pangkat asosiatif ketiga: {{math|[''x'',''x'',''x''] {{=}} 0}}.

'''Inti''' adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain:{{sfn|McCrimmon|2004|p=56}} yaitu, {{mvar|n}} di ''A'' sebagai

: {{math|[''n'',''A'',''A''] {{=}} [''A'',''n'',''A''] {{=}} [''A'',''A'',''n''] {{=}} {0{{)}}}}.

Inti adalah subgelanggang asosiatif dari ''A''.

=== Pusat ===

'''Pusat''' dari ''A'' adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di ''A'', yang merupakan perpotongan dari 
:<math> C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \, \forall r \in A \, \} </math>
dengan inti. Ternyata untuk elemen ''C(A)'' cukup dua himpunan <math>([n,A,A], [A,n,A] , [A,A,n])</math> adalah <math>\{0\}</math> untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.

== Contoh ==

* [[Ruang Eullides]] '''R'''<sup>3</sup> dengan perkalian yang diberikan oleh [[perkalian silang vektor]] adalah contoh aljabar yang antikomutatif dan bukan asosiatif. Produk silang juga memenuhi identitas Jacobi.
* [[Aljabar Lie]] adalah aljabar yang memenuhi antikomutatifitas dan identitas Jacobi.
* Aljabar [[medan vektor]] pada [[lipatan terdiferensiasi]] (jika ''K'' adalah '''R''' atau [[bilangan kompleks]] '''C''') atau sebuah [[variasi aljabar]] (untuk umum ''K'');
* [[Aljabar Jordan]] adalah aljabar yang memenuhi hukum komutatif dan identitas Jordan.{{sfn|Okubo|2005|p=13}}
* Setiap aljabar asosiatif memunculkan aljabar Lie dengan menggunakan [[komutator]] sebagai tanda kurung Lie. Sebenarnya setiap aljabar Lie apabila dikonstruksi dengan cara ini, atau merupakan subaljabar dari aljabar Lie yang dibuat dengan cara ini.
* Setiap aljabar asosiatif pada medan [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] selain 2 memunculkan aljabar Jordan dengan mendefinisikan perkalian yang baru ''x*y'' = (''xy''+''yx'')/2. Berbeda dengan kasus aljabar Lie, tidak semua aljabar Jordan dapat dibuat dengan cara ini. Apabila yang bisa disebut ''khusus''.
* [[Aljabar alternatif]] adalah aljabar yang memenuhi sifat alternatif. Contoh aljabar alternatif yang paling penting adalah [[oktonion]] (aljabar atas riil), dan generalisasi oktonion atas medan lain. Semua aljabar asosiatif adalah alternatif. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif riil dengan dimensi hingga, aljabar pembagian (lihat di bawah) adalah riil, kompleks, kuaternion dan oktonion.
* [[Pangkat aljabar asosiatif]], adalah aljabar yang memenuhi pangkat identitas asosiatif. Contohnya mencakup semua aljabar asosiatif, semua aljabar alternatif, aljabar Jordan pada medan selain [[GF(2)]] (lihat bagian sebelumnya), dan [[sedenion]].
* Aljabar [[kuaternion hiperbolik]] atas '''R''', yang merupakan aljabar eksperimental sebelum adopsi [[ruang Minkowski]] untuk [[relativitas khusus]].

Lebih banyak kelas aljabar:

* [[Aljabar bertingkat]]. Ini mencakup sebagian besar aljabar yang menarik bagi [[aljabar multilinear]], seperti [[aljabar tensor]], [[aljabar simetris]], dan [[aljabar eksterior]] pada [[ruang vektor]] yang diberikan. Aljabar bertingkat dapat digeneralisasi ke [[aljabar filter]].
* [[Aljabar pembagian]], dimana terdapat invers perkalian. Aljabar pembagian alternatif dimensi hingga atas medan bilangan riil diklasifikasikan. Ini adalah [[bilangan riil]] (dimensi 1), [[bilangan kompleks]] (dimensi 2), [[kuaternion]] (dimensi 4), dan [[oktonion]] (dimensi 8). Kuaternion dan oktonion tidak komutatif. Dari aljabar ini, semuanya asosiatif kecuali oktonion.
* [[Aljabar kuadrat]], yang mengartikan ''xx'' = ''re'' + ''sx'', untuk beberapa elemen ''r'' dan ''s'' di medan dasar, dan ''e'' unital untuk aljabar. Contohnya mencakup semua aljabar alternatif dimensi hingga, dan aljabar matriks riil 2-kali-2. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif, aljabar riil kuadrat tanpa pembagi nol adalah riil, kompleks, kuaternion, dan oktonion.
* [[Aljabar Cayley–Dickson]] (dimana ''K'' adalah '''R'''), yang dimulai dengan:
** '''C''' (aljabar komutatif dan asosiatif);
** [[Kuaternion]] '''H''' (aljabar asosiatif);
** [[oktonion]] (sebuah [[aljabar alternatif]]);
** [[sedenion]], dan barisan tak hingga dari aljabar Cayley-Dickson ([[pangkat aljabar asosiatif]]).
* [[Aljabar hiperkompleks]] adalah aljabar unital '''R''' dimensi-hingga, sehingga termasuk aljabar Cayley-Dickson dan lainnya.
* [[Aljabar Poisson]] dipertimbangkan dalam [[kuantisasi geometrik]]. Apabila membawa dua perkalian, mengubahnya menjadi aljabar komutatif dan aljabar Lie dengan cara yang berbeda.
* [[Aljabar genetik]] adalah aljabar nonasosiatif yang digunakan dalam genetika matematika.
*[[Sistem rangkap tiga]]
{{See also|list of algebras}}

== Sifat ==

Ada beberapa sifat yang mungkin familiar dari teori gelanggang, atau dari aljabar asosiatif, yang tidak selalu benar untuk aljabar nonasosiatif. Tidak seperti kasus asosiatif, elemen dengan invers perkalian (dua sisi) mungkin juga merupakan [[pembagi nol]]. Misalnya, semua elemen bukan-nol dari [[sedenion]] memiliki invers dua sisi, namun beberapa di antaranya juga merupakan pembagi nol.

== Aljabar nonasosiatif bebas ==
'''Aljabar nonasosiatif bebas''' pada himpunan ''X'' atas medan ''K'' didefinisikan sebagai aljabar dengan basis yang terdiri dari semua monomial nonasosiatif, produk formal hingga dari elemen kurung penahan ''X''. Produk dari monomial ''u'', ''v'' dengan (''u'')(''v''). Aljabar adalah unital apabila jika mengambil produk kosong sebagai monomial.{{sfn|Rowen|2008|p=321}}

Kurosh membuktikan bahwa setiap subaljabar dari aljabar nonasosiatif bebas adalah bebas.{{sfn|Kurosh|1947|pp=237–262}}

== Aljabar terkait ==
Sebuah aljabar ''A'' atas medan-''K'' khususnya adalah ruang vektor-''K'' dan dengan demikian apabila mempertimbangkan aljabar asosiatif End<sub>''K''</sub>(''A'') dari endomorfisme ruang vektor linear-''K'' dari ''A''. Apabila mengasosiasikan struktur aljabar pada ''A'' dua subaljabar End<sub>''K''</sub>(''A''), '''aljabar turunan''' dan '''(asosiatif) sampul aljabar'''.

=== Aljabar turunan ===
{{Main|Aljabar turunan}}
Sebuah ''[[turunan (aljabar abstrak)|turunan]]'' pada ''A'' adalah peta-''D'' dengan sifat

:<math>D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ . </math>

Turunan pada ''A'' sebagai bentuk subruang Der<sub>''K''</sub>(''A'') di End<sub>''K''</sub>(''A''). [[Komutator#Teori gelanggang|Komutator]] dari dua turunan merupakan turunan terus, sehingga [[braket Lie]] diberikan oleh Der<sub>''K''</sub>(''A'') struktur [[aljabar Lie]].{{sfn|Schafer|1995|p=4}}

=== Sampul aljabar ===
Ada peta linear ''L'' dan ''R'' yang melekat pada setiap elemen ''a'' dari aljabar ''A'':{{sfn|Okubo|2005|p=24}}

:<math>L(a) : x \mapsto ax ; \ \  R(a) : x \mapsto xa \ . </math>

''Sampul aljabar asosiatif'' atau ''aljabar perkalian'' dari ''A'' adalah aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh peta linear kiri dan kanan.{{sfn|Schafer|1995|p=14}}{{sfn|Albert|2003|p=113}} ''pusat'' dari ''A'' adalah pemusat aljabar sampul dalam aljabar endomorfisme End<sub>''K''</sub>(''A''). Sebuah aljabar adalah ''pusat'' jika pusat massanya terdiri dari kelipatan skalar ''K'' dari identitas.{{sfn|Knus|Merkurjev|Rost|Tignol|1998|p=451}}

Beberapa identitas yang mungkin dipenuhi oleh aljabar nonasosiatif dapat dengan mudah diekspresikan dalam bentuk peta linear:{{sfn|McCrimmon|2004|p=57}}
* Komutatif: setiap ''L''(''a'') sama dengan kesesuaian ''R''(''a'');
* Asosiatif: setiap ''L'' komuter dengan ''R'';
* Fleksibel: setiap ''L''(''a'') komutatif dengan ''R''(''a'');
* Jordan: setiap ''L''(''a'') komutatif dengan ''R''(''a''<sup>2</sup>);
* Alternatif: setiap ''L''(''a'')<sup>2</sup> = ''L''(''a''<sup>2</sup>) dan juga untuk kanan.

''Wakilan kuadrat'' ''Q'' didefinisikan oleh:{{sfn|Koecher|1999|p=57}}

:<math>Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \ </math>

atau ekuivalen

:<math>Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ . </math>

Artikel tentang [[aljabar sampul universal]] menjelaskan konstruksi kanonik dari aljabar sampul, serta teorema tipe-PBW. Untuk aljabar Lie, aljabar bungkus tersebut memiliki sifat universal, yang tidak berlaku, secara umum, untuk aljabar nonasosiatif. Contoh yang terkenal adalah, [[aljabar Albert]], [[aljabar Jordan]] tidak menyampul oleh konstruksi kanonik dari aljabar yang sampul untuk aljabar Jordan.

== Lihat pula ==
* [[Daftar aljabar]]
* [[Magma nonasosiatif komutatif]], yang memunculkan aljabar nonasosiatif

== Kutipan ==
{{Reflist}}

== Catatan ==
{{Notelist}}

== Referensi ==
* {{ cite book | last=Albert | first=A. Adrian | author-link=Abraham Adrian Albert | year=2003 | orig-year=1939 | title=Structure of algebras | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=American Mathematical Society Colloquium Publ. | volume=24 | edition=Corrected reprint of the revised 1961 | location=New York | isbn=0-8218-1024-3 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821810243 | zbl=0023.19901 }}
* {{ cite journal | last=Albert | first=A. Adrian | author-link=Abraham Adrian Albert | year=1948a | title=Power-associative rings | jstor=1990399 | zbl=0033.15402 | mr=0027750 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=64 | pages=552–593 | doi=10.2307/1990399 | doi-access=free }}
* {{ cite journal | last=Albert | first=A. Adrian | author-link=Abraham Adrian Albert | year=1948b | title=On right alternative algebras | jstor=1969457 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=50 | pages=318–328 | doi=10.2307/1969457 }}
* {{ cite book | last1=Bremner | first1=Murray | last2=Murakami | first2=Lúcia | last3=Shestakov | first3=Ivan | year=2013 | orig-year=2006 | chapter=Chapter 86: Nonassociative Algebras | editor-last=Hogben | editor-first=Leslie | title=Handbook of Linear Algebra | edition=2nd | publisher=[[CRC Press]] | isbn=978-1-498-78560-0 | url=https://books.google.com/books?isbn=9781498785600 | chapter-url=https://www.math.uci.edu/~brusso/BremnerEtAl35pp.pdf | chapter-format=PDF }}
* {{ cite book | editor-last=Herstein | editor-first=I. N. | editor-link=Israel Nathan Herstein | year=2011 | orig-year=1965 | title=Some Aspects of Ring Theory: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Varenna (Como), Italy, August 23-31, 1965 | volume=37 | series=C.I.M.E. Summer Schools | edition=reprint | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-6421-1036-3 | url=https://books.google.com/books?isbn=3642110363 }}
* {{ cite book | last=Jacobson | first=Nathan | author-link=Nathan Jacobson | year=1968 | title=Structure and representations of Jordan algebras | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX | mr=0251099 | isbn=978-0-821-84640-7 | url=https://books.google.com/books?isbn=9780821846407 }}
* {{ cite book | last1=Knus | first1=Max-Albert | last2=Merkurjev | first2=Alexander | author2-link=Alexander Merkurjev | last3=Rost | first3=Markus | author3-link=Markus Rost | last4=Tignol | first4=Jean-Pierre | year=1998 | title=The book of involutions | others=With a preface by J. Tits | zbl=0955.16001 | series=Colloquium Publications | publisher=[[American Mathematical Society]] | volume=44 | location=Providence, RI | isbn=0-8218-0904-0 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821809040 }}
* {{ cite book | last=Koecher | first=Max | year=1999 | title=The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications | editor1-first=Aloys | editor1-last=Krieg | editor2-first=Sebastian | editor2-last=Walcher | zbl=1072.17513 | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1710 | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-66360-6 | url=https://books.google.com/books?isbn=3540663606 }}
* {{ cite journal | last=Kokoris | first=Louis A. | year=1955 | title=Power-associative rings of characteristic two | publisher=[[American Mathematical Society]] | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=6 | issue=5 | pages=705–710 | doi=10.2307/2032920 | doi-access=free }}
* {{ cite journal | last=Kurosh | first=A.G. | year=1947 | title=Nonassociative algebras and free products of algebras | journal=Mat. Sbornik | volume=20 | issue=62 | mr=20986 | zbl=0041.16803 }}
* {{ cite book | last1=McCrimmon | first1=Kevin | year=2004 | title=A taste of Jordan algebras | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-95447-9 | url=https://books.google.com/books?isbn=9780387954479 | doi=10.1007/b97489 | id=[http://www.math.virginia.edu/Faculty/McCrimmon/ Errata] | mr=2014924 | zbl=1044.17001 }}
* {{ cite journal | last=Mikheev | first=I.M. | year=1976 | title=Right nilpotency in right alternative rings | journal=[[Siberian Mathematical Journal]] | volume=17 | issue=1 | pages=178–180 | doi=10.1007/BF00969304 }}
* {{ cite book | last=Okubo | first=Susumu | year=2005 | orig-year=1995 | title=Introduction to Octonion and Other Nonassociative Algebras in Physics | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-01792-0 | url=https://books.google.com/books?isbn=0521017920 | doi=10.1017/CBO9780511524479 | zbl=0841.17001 | series=Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics | volume=2 }}
* {{ cite book | last=Rosenfeld | first=Boris | year=1997 | title=Geometry of Lie groups | zbl=0867.53002 | series=Mathematics and its Applications | location=Dordrecht | volume=393 | publisher=Kluwer Academic Publishers | isbn=0-7923-4390-5 | url=https://books.google.com/books?isbn=0792343905 }}
* {{ cite book | last=Rowen | first=Louis Halle | year=2008 | title=Graduate Algebra: Noncommutative View | series=Graduate studies in mathematics | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=0-8218-8408-5 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821884085 }}
* {{ cite book | last=Schafer  | first=Richard D. |author-link=Richard D. Schafer| year=1995 | orig-year=1966 | title=An Introduction to Nonassociative Algebras | publisher=Dover | isbn=0-486-68813-5 | url=https://books.google.com/books?isbn=0486688135 | zbl=0145.25601 }}
* {{ cite book | last1=Zhevlakov | first1=Konstantin A. | last2=Slin'ko | first2=Arkadii M. | last3=Shestakov | first3=Ivan P. | last4=Shirshov | first4=Anatoly I. | author-link4=Anatoly Shirshov | translator-last=Smith | translator-first=Harry F. | year=1982 | orig-year=1978 | title=Rings that are nearly associative |isbn=0-12-779850-1 | url=https://www.researchgate.net/publication/260600596_Rings_that_are_nearly_associative }}

{{Authority control}}

[[Kategori:Aljabar nonasosiatif| ]]