Lihat sumber Aljabar linear

{{short description|Cabang matematika}}
[[Berkas:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|Dalam [[ruang Euklides]] dimensi tiga, ketiga bidang ini mewakili solusi persamaan linear, dan perpotongannya ketiganya mewakili himpunan solusi gabungan: dalam hal ini, sebuah titik yang unik. Garis biru adalah solusi gabungan ketika hanya memperhatikan gabungan dari dua persamaan linear.]]

'''Aljabar linear''' adalah bidang studi [[matematika]] yang mempelajari sistem [[persamaan linear]] seperti<math display="block">a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math>[[Peta linear|pemetaan linear]] seperti<math display="block">(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,</math>dan representasinya dalam [[ruang vektor]] maupun dengan [[Matriks (matematika)|matriks]].<ref>{{Citation|last1=Banerjee|first1=Sudipto|last2=Roy|first2=Anindya|date=2014|title=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|series=Texts in Statistical Science|publisher=Chapman and Hall/CRC|edition=1st|isbn=978-1420095388}}</ref><ref>{{Citation|last=Strang|first=Gilbert|date=July 19, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Brooks Cole|edition=4th|isbn=978-0-03-010567-8}}</ref><ref>{{cite web|last=Weisstein|first=Eric|title=Linear Algebra|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html|work=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|publisher=Wolfram|access-date=16 April 2012}}</ref>

Aljabar linear berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linear menjadi dasar dalam menjelaskan [[geometri]] secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti [[garis]], [[Bidang (geometri)|bidang]], dan [[Rotasi (matematika)|rotasi]].  [[Analisis fungsional]], salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linear dalam [[ruang fungsi]].

Aljabar linear juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang [[teknik]], karena kemampuannya [[Model matematika|memodelkan]] banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada [[Sistem nonlinier|sistem nonlinear]], aljabar linear sering digunakan sebagai hampiran linear (''linear approximation''), didasarkan pada fakta [[turunan]] dari [[fungsi multivariabel]] di suatu titik adalah pemetaan linear yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi disekitar [[titik]] tersebut.

== Sejarah ==
{{See also|Determinan#Sejarah|Eliminasi Gauss#Sejarah}}
Menyelesaikan beberapa persamaan linear secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linear. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai [[eliminasi Gauss]], pertama kali muncul dalam ''Bab Delapan: Array Persegi Panjang'' di buku matematika Cina kuno ''[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab dalam Seni Matematika]]''. Buku ini mengilustrasikan delapan belas masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.<ref>{{Cite book|last=Hart|first=Roger|year=2010|url=https://books.google.com/books?id=zLPm3xE2qWgC|title=The Chinese Roots of Linear Algebra|publisher=[[JHU Press]]|isbn=9780801899584}}</ref>

[[Sistem persamaan linear]] berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep [[Sistem koordinat|koordinat]] dalam [[geometri]], oleh [[René Descartes]] pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai [[Geometri analitis|geometri Kartesius]] ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh [[persamaan]] linear, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Pada perkembangan selanjutnya, [[determinan]] digunakan untuk menyelesaikan sistem [[persamaan linear]] secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693. Pada tahun 1750, [[Gabriel Cramer]] menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linear secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan [[aturan Cramer]]. [[Gauss]] nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (''advancement'') dalam [[geodesi]].<ref name="Vitulli, Marie">{{cite web|last=Vitulli|first=Marie|author-link=Marie A. Vitulli|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|work=Department of Mathematics|publisher=University of Oregon|archive-url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|archive-date=2012-09-10|access-date=2014-07-08}}</ref>

Pada tahun 1844, [[Hermann Grassmann]] mempublikasikan "''Theory of Extension''" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linear. Pada tahun 1848, [[James Joseph Sylvester]] memperkenalkan istilah ''matrix''. Aljabar linear tumbuh dengan konsep-konsep dari [[bidang kompleks]]. Sebagai contoh, dua [[bilangan kompleks]] <math>w</math> dan <math>z</math> memiliki selisih <math>w-z</math> dan segmen garis <math>\overline{w z}</math> dan <math>\overline{0(w-z)}</math> memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah [[Vektor Euklides|vektor]] diperkenalkan untuk mewakili suatu titik <math>v = x \text{i} + y \text{j} + z \text{k} </math> dalam ruang.

[[Arthur Cayley]] memperkenalkan [[perkalian matriks]] dan [[invers matriks]] pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."<ref name="Vitulli, Marie" />

Publikasi ''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]'' pada tahun 1873 memulai ilmu [[Medan (fisika)|teori medan]] tentang elektromagnetik, dan memerlukan [[geometri diferensial]] untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linear merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen [[Lipatan (matematika)|manifold]]. Simetri elektromagnetik dari [[ruang waktu]] diekspresikan lewat [[transformasi Lorentz]], dan banyak dari sejarah aljabar linear selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai [[ruang vektor]] diperkenalkan oleh [[Giuseppe Peano|Peano]] pada tahun 1888.<ref name="Vitulli, Marie" /> Teori tentang transformasi linear ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linear mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi [[aljabar abstrak]]. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam [[algoritme]] efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linear menjadi alat penting untuk permodelan dan simulasi.<ref name="Vitulli, Marie" />

== Ruang vektor ==
{{Main|Ruang vektor}}
Sampai pada abad ke-19, aljabar linear diperkenalkan lewat [[sistem persamaan linear]] dan [[Matriks (matematika)|matriks]]. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ''ruang vektor'' lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas [[Medan (matematika)|medan]] {{math|''F''}} (umumnya berupa medan [[bilangan real]]) adalah suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] {{math|''V''}} yang dilengkapi oleh dua [[operasi biner]] yang memenuhi [[Aksioma|aksioma-aksioma]] pada daftar berikut. [[Elemen (matematika)|Elemen]] dari {{math|''V''}} disebut ''vektor'', dan elemen dari {{math|''F''}} disebut ''skalar''. Opersi yang pertama, ''penjumlahan vektor'', menggunakan sembarang dua vektor {{math|'''v'''}} dan {{math|'''w'''}} dan menghasilkan vektor {{math|'''v''' + '''w'''}}. Operasi yang kedua, ''perkalian skalar'', menggunakan sembarang skalar {{math|''a''}} dan sembarang vektor {{math|'''v'''}} dan menghasilkan vektor {{math|''a'''''v'''}}. Dalam daftar berikut, {{math|'''u''', '''v'''}}, dan {{math|'''w'''}} adalah sembarang vektor di {{math|''V''}}, dan {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah sembarang skalar di medan {{math|''F''}}.<ref>{{harvtxt|Roman|2005|loc=ch. 1, p. 27}}</ref>
{| style="width:100%;" border="0"
|'''Aksioma'''
|'''Hal yang terjadi'''
|-
|Penjumlahan bersifat [[Sifat asosiatif|asosiasif]]
|{{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Penjumlahan bersifat [[Sifat komutatif|komutatif]]
|{{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
|Penjumlahan memiliki [[elemen identitas]]
|Ada suatu elemen {{math|'''0'''}} di {{math|''V''}}, disebut dengan ''[[vektor nol]]'' (terkadang cukup disebut ''nol''), yang memenuhi {{math|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}.
|- style="background:#F8F4FF;"
|Penjumlahan memiliki [[elemen invers]]
|Untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}, ada elemen {{math|−'''v'''}} di {{math|''V''}}, disebut invers penjumlahan dari {{math|'''v'''}}, yang memenuhi {{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}
|-
|Perkalian skalar bersifat [[Sifat distributif|distributif]] terhadap penjumlahan vektor
|{{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan pada medan
|{{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|-
|Perkalian skalar bersifat distributif terhadap perkalian pada medan
|{{math|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} {{efn|Aksioma ini tidak mengartikan sifat asosiatif dari suatu operasi, karena ada dua operasi yang terjadi: perkalian skalar ''bv''; dan perkalian pada medan ''ab''.}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Perkalian skalar memiliki elemen invers
|Untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}, berlaku hubungan {{math|1=1'''v''' = '''v'''}}, dengan {{math|1}} menandakan [[identitas perkalian]] di {{mvar|F}}.
|}
Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa {{math|''V''}} adalah suatu [[grup Abelian]] dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa [[Deret (matematika)|deret]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], [[polinomial]], atau [[Matriks (matematika)|matriks]]. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

=== Peta linear ===
{{main|Peta linear}}
Peta linear adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]] antara dua ruang vektor yang mengawetkan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor {{math|''V''}} dan {{math|''W''}} atas medan {{mvar|F}}, suatu pet linear adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]]<math display="block"> T:V\to W </math>yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi<math display="block"> T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) </math>Untuk sembarang vektor {{math|'''u''','''v'''}} di {{math|''V''}} dan skalar {{math|''a''}} di {{mvar|F}}. Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor {{math|'''u''', '''v'''}} di {{math|''V''}} dan skalar {{math|''a'', ''b''}} di {{mvar|F}}, berlaku hubungan<math display="block">T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) </math>Ketika {{math|1=''V'' = ''W''}}, pemetaan linear <math> T:V\to V </math> juga disebut sebagai ''operator linear'' di {{mvar|V}}. Peta linear yang [[Bijeksi|bijektif]] antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu [[isomorfisme]]. Karena isomorfisme mengawetkan struktur linear, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linear, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linear adalah menentukan apakah suatu peta linear bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan [[Citra (matematika)|citra]] dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan [[eliminasi Gauss]], atau variasinya.

=== Subruang, span, dan basis ===
{{main|Subruang linear|Span (aljabar linear)|Basis (aljabar linear)}}
Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari [[Himpunan bagian|subset]] dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan [[Subruang vektor|subruang linear]]. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor {{mvar|V}} atas lapangan {{mvar|F}} adalah suatu [[subset]] {{mvar|W}} dari {{mvar|V}} yang memenuhi {{math|'''u''' + '''v'''}} dan {{math|''a'''''u'''}} berada di dalam {{mvar|W}}, untuk setiap {{Math|'''u'''}}, {{Math|'''v'''}} di {{mvar|W}}, dan setiap {{mvar|a}} di {{mvar|F}}. (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa {{mvar|W}} adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear <math> T:V\to W </math>, [[Citra (matematika)|citra]] {{math|''T''(''V'')}} dari {{mvar|V}}, dan invers dari citra {{math|''T''<sup>−1</sup>('''0''')}} dari '''0''' (dikenal sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari {{mvar|W}} dan {{mvar|V}}.

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan [[kombinasi linear]] vektor-vektor dari himpunan {{mvar|S}}. Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk <math display="block"> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,</math>dengan {{math|'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''k''</sub>}} berada di {{mvar|S}}, dan {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>}} berada di {{mvar|F}}. Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut [[Span (aljabar linear)|span]] dari {{mvar|S}}. Span dari {{mvar|S}} juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung {{mvar|S}}. Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung {{mvar|S}}.

Suatu himpunan vektor dikatakan saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor {{mvar|S}} saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di {{mvar|S}} adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien <math>a_i.</math>

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (''span'') suatu ruang vektor disebut [[Rentang linear|himpunan span]]. Jika himpunan span {{mvar|S}} ''bergantung linear'' (yakni tidak bebas linear), maka ada vektor {{Math|'''w'''}} di {{mvar|S}} yang berada di span vektor-vektor {{mvar|S}} yang lain, dan span dari {{mvar|S}} tidak akan berubah walau {{Math|'''w'''}} dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen {{mvar|S}} bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor {{mvar|V}} disebut sebagai suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi {{math|''V''}}. Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari {{mvar|V}} yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di {{mvar|V}}. Secara lebih formal, jika {{mvar|S}} adalah himpunan yang bebas linear, dan {{mvar|T}} adalah himpunan span dengan <math>S\subseteq T,</math> maka ada suatu basis {{mvar|B}} sedemikian sehingga <math>S\subseteq B\subseteq T.</math>

Ruang vektor {{math|''V''}} dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari {{math|''V''}} memiliki [[kardinalitas]] yang sama, yang disebut sebagai [[dimensi]] dari {{math|''V''}}. Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan {{mvar|F}} yang sama saling [[Isomorfisme|isomorfik]] jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama.<ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 82, §3.59</ref> Jika salah satu basis bagi {{math|''V''}} (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga, {{math|''V''}} disebut ''ruang vektor dimensi hingga''. Jika {{math|''U''}} adalah subruang dari {{math|''V''}}, maka {{math|dim ''U'' ≤ dim ''V''}}. Pada kasus ketika {{math|''V''}} berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika {{math|1=''U'' = ''V''}}.

Jika ''U''<sub>1</sub> dan ''U''<sub>2</sub> adalah subruang dari ''V'', maka

: <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),</math>

dengan <math>U_1+U_2</math> menyatakan span dari <math>U_1\cup U_2.</math><ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 23, §1.45</ref>
== Matriks ==
{{Main|Matriks (matematika)}}Matriks memungkinkan manipulasi [[ruang vektor]] berdimensi hingga dan [[peta linear]] secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linear.

Misalkan {{mvar|V}} adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan {{math|''F''}}, dan {{math|('''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''m''</sub>)}} menjadi basis bagi {{math|''V''}} (sehingga {{mvar|m}} adalah dimensi dari {{math|''V''}}). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan<math display="block">\begin{align}
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}</math>

adalah suatu [[bijeksi]] dari <math>F^m,</math> yakni himpunan berisi [[barisan]] {{mvar|m}} elemen yang diambil dari {{mvar|F}}, ke {{mvar|V}}. Ini adalah suatu [[isomorfisme]] ruang vektor, jika <math>F^m</math> dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan [[perkalian skalar]] dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di {{mvar|V}} dengan menggunakan [[vektor koordinat]] <math>(a_1, \ldots, a_m)</math> atau dengan vektor<math display="block">\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.</math>Selanjutnya, jika {{mvar|W}} adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis <math>(\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n),</math> suatu peta linear {{mvar|f}} dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}} terdefinisi pasti (''well defined'') lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni <math>(f(\mathbf w_1), \ldots, f(\mathbf w_n)).</math> Sehingga, jika<math display="block">f(\mathbf w_j)=a_{1,j}\mathbf v_1 + \cdots+a_{m,j}\mathbf v_m,</math>untuk {{math|1=''j'' = 1, ..., ''n''}}, maka {{mvar|f}} dapat dinyatakan sebagai matriks dengan {{mvar|m}} baris dan {{mvar|n}} kolom<math display="block">\begin{bmatrix}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
\end{bmatrix}.</math>[[Perkalian matriks]] didefinisikan sedemikian sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan [[Komposisi fungsi|komposisi]] peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linear yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut [[Matriks serupa|matriks yang serupa]]. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan [[Matriks dasar|operasi-operasi matriks elementer]]. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linear dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}}, operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di {{mvar|V}} sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di {{mvar|W}}. Setiap matriks serupa dengan [[matriks identitas]] dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linear dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}}, ada basis sehingga sebagian basis di {{mvar|W}} dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis {{mvar|V}}, sedangkan sisa basis {{mvar|W}} yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. [[Eliminasi Gauss]] adalah algoritme dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

== Sistem linear ==
{{Main|Sistem persamaan linear}}
Sebuah [[himpunan hingga]] berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}} atau {{math|''x'', ''y'', ..., ''z''}}, disebut sebagai ''sistem persamaan linear'' atau ''sistem linear''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=2}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=65}}</ref><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=324}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=87}}</ref><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=57}}</ref>

Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkan{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}adalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks<math display="block">M = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2  \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right]
</math>yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor <math display="block">\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix} </math>yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga {{mvar|T}} adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks {{mvar|M}}. Sebuah solusi dari sistem ({{EquationNote|S}}) adalah vektor <math display="block">\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math>yang memenuhi

: <math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>

yakni sebuah elemen yang menjadi [[Citra (matematika)|pracitra]] dari {{mvar|v}} oleh pemetaan {{mvar|T}}.

Misalkan ({{EquationNote|S′}}) adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan ({{EquationNote|S}}), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& 0 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S′}}}}Himpunan solusi dari ({{EquationNote|S′}}) adalah elemen-elemen dari  [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] {{mvar|T}}, atau secara ekuivalen, kernel dari {{mvar|M}}.

Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses [[Eliminasi Gauss|eliminasi Gauss-Jordan]] pada matriks gabungan
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8 \\
-3 & -1 & 2&-11 \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right].
</math>
Pross eliminasi ini adalah serangkaian [[Matriks dasar|operasi baris dasar]] yang mengubah matriks ke dalam [[Bentuk eselon baris|bentuk eselon baris tereduksi]]. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2 \\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math> menunjukkan bahwa sistem ({{EquationNote|S}}) memiliki solusi unik<math display="block">\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>Interpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung [[Rank (aljabar linear)|rank]], [[Kernel (aljabar linear)|kernel]], dan [[invers matriks]].

== Endomorfisme dan matriks persegi ==
{{main|Matriks persegi}}
Sebuah [[endomorfisme]] linear adalah [[peta linear]] yang memetakan suatu ruang vektor {{mvar|V}} ke dirinya sendiri. Jika {{mvar|V}} memiliki basis berisi {{mvar|n}} elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah [[matriks persegi]] berukuran <math>n\times n</math>. Berhubungan dengan pemetaan linear secara umum, endomorfisme linear dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linear.

=== Determinan ===
{{main|Determinan}}
''Determinan'' dari suatu matriks persegi {{mvar|A}} didefinisikan sebagai<ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} pp. 76&#x2013;77, § 4.4.1&#x2013;4.4.6</ref>

: <math>\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}, </math>

dengan {{math|''S<sub>n</sub>''}} adalah [[Grup simetrik|grup dari semua permutasi]] {{mvar|n}} elemen, {{mvar|σ}} adalah sebuah permutasi, dan {{math|(−1)<sup>''σ''</sup>}} adalah [[Paritas (matematika)|paritas]] dari permutasi. Sebuah matriks disebut [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]] (''invertible'') jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

[[Kaidah Cramer]] adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan {{mvar|n}} persamaan dan {{mvar|n}} variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, namun kecuali untuk {{math|1=''n'' = 2}} atau {{math|3}}, kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari solusi adalah [[eliminasi Gauss]].

=== Nilai eigen dan vektor eigen ===
{{main|Nilai dan vektor eigen}}
Jika {{mvar|f}} adalah endomorfisme linear dari suatu ruang vektor {{mvar|V}} atas suatu [[Medan (matematika)|medan]] {{mvar|F}}, ''vektor eigen'' dari {{mvar|f}} adalah vektor tak-nol {{mvar|v}} di {{mvar|V}} sedemikian sehingga {{math|1=''f''(''v'') = ''av''}} untuk suatu skalar {{mvar|a}} di {{mvar|F}}. Skalar {{mvar|a}} ini disebut sebagai nilai eigen dari {{mvar|f}}.

Jika dimensi dari {{mvar|V}} hingga, dan sebuah basis telah dipilih, {{mvar|f}} dan {{mvar|v}} dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi {{mvar|M}} dan sebuah matriks kolom {{mvar|z}}; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai
<math>Mz=az.</math>

Menggunakan [[matriks identitas]] {{mvar|I}}, matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
<math>(M-aI)z=0.</math>

Karena {{mvar|z}} bukan vektor nol, ekspresi {{math|''M'' – ''aI''}} menyatakan suatu [[matriks singular]] yang nilai determinannya, {{math|det (''M'' − ''aI'')}}, sama dengan nol.

== Catatan ==
{{notelist}}

== Referensi ==
{{reflist|30em}}

== Daftar pustaka ==
{{Refbegin}}
* {{citation|last1=Anton|first1=Howard|year=1987|isbn=0-471-84819-0|title=Elementary Linear Algebra|edition=5th|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|location=New York}}
*{{Citation|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|volume=|pages=|publication-date=2015|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=3rd|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=978-3-319-11079-0|author-link=Sheldon Axler}}
* {{citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|last2=Fraleigh|first2=John B.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|location=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin Company]]|year=1973|isbn=0-395-14017-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau}}
* {{citation|last1=Burden|first1=Richard L.|last2=Faires|first2=J. Douglas|year=1993|isbn=0-534-93219-3|title=Numerical Analysis|edition=5th|publisher=[[Prindle, Weber and Schmidt]]|location=Boston|url-access=registration|url=https://archive.org/details/numericalanalysi00burd}}
* {{citation|last1=Golub|first1=Gene H.|last2=Van Loan|first2=Charles F.|year=1996|isbn=978-0-8018-5414-9|title=Matrix Computations|edition=3rd|series=Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]|location=Baltimore}}
*{{citation|last=Halmos|first=Paul Richard|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|url=https://www.worldcat.org/title/finite-dimensional-vector-spaces/oclc/1251216|volume=|pages=|year=1974|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=1958 2nd|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=0-387-90093-4|oclc=1251216|author-link=Paul Halmos}}
* {{citation|last1=Harper|first1=Charlie|year=1976|isbn=0-13-487538-9|title=Introduction to Mathematical Physics|publisher=[[Prentice-Hall]]|location=New Jersey}}
*{{Citation|last1=Katznelson|first1=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|volume=|pages=|publication-date=2008|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-4419-9|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|year=2008|author-link=Yitzhak Katznelson}}
* {{Citation|last=Roman|first=Steven|date=March 22, 2005|volume=|pages=|title=Advanced Linear Algebra|edition=2nd|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|publisher=Springer|isbn=978-0-387-24766-3|author-link=Steven Roman}}
{{Refend}}
{{Authority control}}{{Aljabar linear}}

{{Bidang matematika}}

[[Kategori:Aljabar linear| ]]
[[Kategori:Persamaan matriks]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]