Lihat sumber Aljabar komposisi

{{Struktur aljabar}}
Dalam [[matematika]], sebuah '''aljabar komposisi''' {{mvar|A}} atas [[medan (matematika)|medan]] {{mvar|K}} adalah [[Aljabar non-asosiatif|non-asosiatif]] [[aljabar atas medan|medan]] {{mvar|K}} bersama dengan [[Bentuk terdegenerasi|non-terdegenerasi]] [[bentuk kuadratik]] {{mvar|N}} yang memenuhi
:<math>N(xy) = N(x)N(y)</math>
untuk semua {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} di {{mvar|A}}.

Sebuah aljabar komposisi mencakup [[involusi (matematika)|involusi]] yang disebut '''konjugasi''': <math>x \mapsto x^*.</math> Bentuk kuadrat <math>N(x) = x x^*</math> disebut '''norma''' aljabar.

Sebuah aljabar komposisi (''A'', ∗, ''N'') adalah [[aljabar pembagian]] atau '''aljabar terbagi''', tergantung pada keberadaan bukan nol ''v'' di ''A'' sedemikian rupa sehingga ''N''(''v'') = 0, disebut [[vektor nol]].<ref>{{cite book | first = T. A. | last = Springer | author-link = T. A. Springer |author2=F. D. Veldkamp | year  = 2000 | title  = Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups | url = https://archive.org/details/octonionsjordana00spri | page = [https://archive.org/details/octonionsjordana00spri/page/n23 18] | publisher  = [[Springer-Verlag]] | isbn = 3-540-66337-1}}</ref> Ketika ''x'' adalah ''bukan'' vektor nol, [[perkalian invers]] dari ''x'' adalah {{nowrap|<math display="inline">\frac{x^*}{N(x)}</math>.}} Ketika ada vektor nol bukan nol, ''N'' adalah [[bentuk kuadrat isotropik]], dan "aljabar terbagi".

== Teorema struktur ==
Setiap [[Aljabar unital|unital]] aljabar komposisi atas medan {{mvar|K}} apabila diperoleh dengan penerapan berulang [[konstruksi Cayley–Dickson]] mulai dari {{mvar|K}} (jika [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] dari {{mvar|K}} berbeda dari {{math|2}}) atau subaljabar komposisi 2 dimensi (jika {{math|1=char(''K'') = 2}}).&nbsp; Kemungkinan dimensi aljabar komposisi adalah {{math|1}}, {{math|2}}, {{math|4}}, dan {{math|8}}.<ref name=NJ/><ref name=GR08>Guy Roos (2008) "Ranah simetris yang luar biasa", 1: Aljabar Cayley, dalam ''Simetri dalam Analisis Kompleks'' oleh Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 ''Matematika Kontemporer'', [[American Mathematical Society]], {{ISBN|978-0-8218-4459-5}}</ref><ref>{{cite book |first     = Richard D.
 |last      = Schafer
 |year      = 1995
 |orig-year  = 1966
 |zbl       = 0145.25601
 |title     = An introduction to non-associative algebras
 |publisher = [[Dover Publications]]
 |isbn      = 0-486-68813-5
 |pages     = [https://archive.org/details/introductiontono0000scha/page/72 72–75]
 |url       = https://archive.org/details/introductiontono0000scha/page/72
}}</ref>

* Aljabar komposisi 1 dimensi hanya ada jika {{math|char(''K'') ≠ 2}}.
* Aljabar komposisi dimensi 1 dan 2 bersifat komutatif dan asosiatif.
* Aljabar komposisi dimensi 2 adalah [[perluasan medan kuadrat]] dari {{mvar|K}} atau isomorfik ke {{math|''K'' ⊕ ''K''}}.
* Aljabar komposisi berdimensi 4 disebut [[aljabar kuaternion]]. Mereka asosiatif tetapi tidak komutatif.
* Aljabar komposisi berdimensi 8 disebut [[aljabar oktonion]]. Apabila hal tersebut bukan asosiatif atau komutatif.

Untuk terminologi yang konsisten, aljabar dimensi 1 disebut ''unarion'', dan aljabar dimensi 2 ''biner''.<ref name=KMC/>

== Contoh dan penggunaan ==
Ketika medan {{mvar|K}} adalah [[bilangan kompleks]] {{math|'''C''}} dan bentuk kuadrat {{math|''z''<sup>2</sup>}}, maka empat aljabar komposisi atas {{math|'''C'''}} adalah {{math|'''C''' sendiri}}, [[bilangan bikompleks]], [[bikuaternion]] (isomorfik ke {{celah|2|×|2}} kompleks [[gelanggang matriks]] {{math|M(2, '''C''')}}), dan [[bioktonion]] {{math|'''C''' ⊗ '''O'''}}, yang juga disebut oktonion kompleks.

Gelanggang matriks {{math|M(2, '''C''')}} telah lama menjadi objek yang menarik, pertama sebagai [[bikuaternion]] oleh [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] (1853), kemudian dalam bentuk matriks isomorfik, dan terutama sebagai [[aljabar Pauli]].

[[persegi (aljabar)|Fungsi kuadrat]] {{math|1=''N''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} pada medan [[bilangan riil]] sebagai bentuk aljabar komposisi primordial.
Bila medan {{mvar|K}} adalah bilangan riil {{math|'''R'''}}, maka hanya ada enam aljabar komposisi riil lainnya.<ref name=GR08/>{{rp|166}} 
Dalam dua, empat, dan delapan dimensi [[aljabar pembagian]] dan "aljabar terpisah":
: biner: bilangan kompleks dengan bentuk kuadrat {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} dan [[bilangan kompleks-terpisah]] dengan bentuk kuadrat {{math|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup>}},
: [[kuaternion]] dan [[split-quaternion]]s,
: [[oktonion]] dan [[oktonion-terpisah]].

Setiap aljabar komposisi memiliki [[bentuk bilinear]] B(''x,y'') terkait yang dibuat dengan norma N dan [[identitas polarisasi]]:
:<math>B(x,y) \ = \ [N(x + y) - N(x) - N(y)]/2 .</math><ref>Arthur A. Sagle & Ralph E. Walde (1973) ''Pengantar Grup Lie dan Aljabar Lie'', halaman 194−200, [[Pers Akademik]]</ref>

== Sejarah ==
Komposisi jumlah kuadrat dicatat oleh beberapa penulis awal. [[Diophantus]] menyadari identitas yang melibatkan jumlah dua kuadrat, sekarang disebut [[identitas Brahmagupta–Fibonacci]], yang juga diartikulasikan sebagai sifat norma Euclidean dari bilangan kompleks ketika dikalikan. [[Leonhard Euler]] membahas [[identitas empat kuadrat Euler|identitas empat kuadrat]] pada tahun 1748, dan itu dipimpin oleh [[W. R. Hamilton]] untuk menyusun aljabar empat dimensi [[kuaternion]]-nya.<ref  name=KMC>Kevin McCrimmon (2004) ''A Taste of Jordan Algebras'', Universitext, Springer {{ISBN|0-387-95447-3}} {{mr|id=2014924}}</ref>{{rp|62}} Pada tahun 1848 [[tessarin]] dijelaskan memberikan cahaya pertama untuk bilangan bikompleks.

Sekitar tahun 1818 sarjana Denmark Ferdinand Degen menampilkan [[identitas delapan persegi Degen]], yang kemudian dihubungkan dengan norma elemen aljabar [[oktonion]]:
:Secara historis, aljabar non-asosiatif pertama, [[bilangan Cayley]] ... muncul dalam konteks masalah teori bilangan bentuk kuadrat yang memungkinkan komposisi ... pertanyaan teori bilangan ini dapat diubah menjadi pertanyaan tentang sistem aljabar tertentu, aljabar komposisi ...<ref name=KMC/>{{rp|61}}

Pada tahun 1919 [[Leonard Dickson]] memajukan studi tentang [[masalah Hurwitz]] dengan survei upaya hingga saat itu, dan dengan menunjukkan metode menggandakan angka empat untuk mendapatkan [[bilangan Cayley]]. Ia memperkenalkan [[unit imajiner]] {{math|e}} yang baru, dan untuk kuaternion {{math|''q''}} dan {{math|''Q''}} menulis bilangan Cayley {{math|''q'' + ''Q''e}}. Menyatakan konjugasi kuaternion dengan {{math|''q''′}}, produk dari dua bilangan Cayley adalah<ref>{{Citation | last1=Dickson | first1=L. E. | author1-link=Leonard Dickson | title=Tentang Kuaternion dan Generalisasinya dan Sejarah Teorema Persegi Delapan | jstor=1967865 | publisher=Annals of Mathematics | series=Second Series | year=1919 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=20 | issue=3 | pages=155–171 | doi=10.2307/1967865}}</ref>
:<math>(q + Qe)(r + Re) = (qr - R'Q) + (Rq + Q r')e .</math>
Konjugat bilangan Cayley adalah {{math|''q''' – ''Q''e}}, dan bentuk kuadratnya adalah {{math|''qq''′ + ''QQ''′}}, diperoleh dengan mengalikan bilangan dengan konjugasinya. Metode penggandaan ini kemudian disebut [[konstruksi Cayley–Dickson]].

Pada tahun 1923 kasus aljabar riil dengan [[bentuk pasti positif]] yang dibatasi oleh [[teorema Hurwitz (aljabar komposisi)|teorema Hurwitz]].

Pada tahun 1931 [[Max Zorn]] memperkenalkan gamma (γ) dalam kaidah perkalian dalam konstruksi Dickson untuk menghasilkan [[oktonion-terpisah]].<ref>[[Max Zorn]] (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", [[Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg]] 9(3/4): 395–402</ref> [[Adrian Albert]] juga menggunakan gamma pada tahun 1942 ketika dia menunjukkan bahwa penggandaan Dickson apabila diterapkan pada [[medan (matematika)|medan]] dengan [[persegi (aljabar)|fungsi kuadrat]] untuk membangun aljabar biner, kuaternion, dan oktonion dengan bentuk kuadrat.<ref>{{cite journal | first=Adrian | last=Albert | author-link=Adrian Albert | year=1942 | title=Quadratic forms permitting composition | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=43 | pages=161–177 | zbl=0060.04003 | doi=10.2307/1968887}}</ref> [[Nathan Jacobson]] mendeskripsikan [[automorfisme]] dari komposisi aljabar pada tahun 1958.<ref name=NJ>{{cite journal | first=Nathan | last=Jacobson | author-link=Nathan Jacobson | year=1958 | title=Composition algebras and their automorphisms | journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] | volume=7 | pages=55–80 | zbl=0083.02702 | doi=10.1007/bf02854388}}
</ref>

Aljabar komposisi klasik atas {{math|'''R'''}} dan {{math|'''C''}} adalah [[aljabar unital]]. Aljabar komposisi ''tanpa'' sebuah [[identitas perkalian]] ditemukan oleh H.P. Petersson ([[aljabar Petersson]]) dan Susumu Okubo ([[aljabar Okubo]]) dan lainnya.<ref name=KMRT>Max-Albert Knus, [[Alexander Merkurjev]], [[Markus Rost]], Jean-Pierre Tignol (1998) "Composition and Triality", bab 8 dalam ''The Book of Involutions'', hal. 451–511, Publikasi Kolokium v 44, [[American Mathematical Society]] {{ISBN|0-8218-0904-0}}</ref>{{rp|463–81}}

== Lihat pula ==
* [[Persegi ajaib Freudenthal]]
* [[Bentuk Pfister]]
* [[Trialiti]]

== Referensi ==
{{wikibooks|Aljabar Komposisi Asosiatif}}
{{reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
*{{cite book
 | last1 = Faraut | first1 = Jacques
 | last2 = Korányi | first2 = Adam | author2-link = Ádám Korányi
 | isbn = 0-19-853477-9
 | mr = 1446489
 | pages = [https://archive.org/details/analysisonsymmet00fara/page/n95 81]–86
 | publisher = The Clarendon Press, Oxford University Press, New York
 | series = Oxford Mathematical Monographs
 | title = Analysis on symmetric cones
 | url = https://archive.org/details/analysisonsymmet00fara | year = 1994}}
* {{cite book | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | first=Tsit-Yuen | last=Lam | author-link=Tsit Yuen Lam | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 }}
*{{cite book | first = F. Reese | last = Harvey | year = 1990 | series=Perspectives in Mathematics | volume=9 | title = Spinors and Calibrations | publisher = [[Academic Press]] | location = San Diego | isbn = 0-12-329650-1 | zbl=0694.53002 }}

[[Kategori:Aljabar komposisi]]
[[Kategori:Bentuk kuadrat]]
[[Kategori:Perlakuan historis kuartenion]]