Lihat sumber Aljabar asosiatif

{{about|jenis tertentu dari [[Aljabar (teori gelanggang)]]| aljabar di atas [[gelanggang komutatif]]|penggunaan lain dari istilah "aljabar"|Aljabar (disambiguasi)}}
{{Short description|1 = Struktur aljabar dengan (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd dan (a)(bc) = (ab)(c)}}
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], '''aljabar asosiatif''' adalah [[struktur aljabar]] dengan operasi penjumlahan, perkalian yang kompatibel (diasumsikan sebagai [[sifat asosiatif|asosiatif]]), dan [[perkalian skalar]] dengan elemen [[Bidang (matematika)|bidang]]. Operasi penjumlahan dan perkalian ''A'' dengan struktur [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; operasi penjumlahan dan perkalian skalar bersama-sama memberikan ''A'' struktur dari [[ruang vektor]] di atas ''K''. Dalam artikel ini kita juga akan menggunakan istilah [[aljabar atas medan|'''aljabar-''K''''']] untuk berarti aljabar asosiatif di atas bidang ''K''. Contoh standar pertama dari aljabar-''K'' adalah gelanggang [[matriks kuadrat]] di atas bidang ''K'', dengan [[perkalian matriks]] biasa.

'''Aljabar komutatif''' adalah aljabar asosiatif yang menggunakan perkalian [[komutatif]] atau ekuivalen, aljabar asosiatif yang juga merupakan [[gelanggang komutatif]].

Dalam artikel ini, aljabar asosiatif menggunakan identitas perkalian, dilambangkan dengan 1; kadang-kadang disebut '''aljabar asosiatif unital''' untuk klarifikasi. Dalam beberapa bidang matematika asumsi tidak dibuat, dan struktur aljabar [[aljabar unital|non-unital]] dari aljabar asosiatif. Gelanggang adalah unital dari semua homomorfisme gelanggang.

Banyak penulis mempertimbangkan konsep umum dari aljabar asosiatif di atas [[gelanggang komutatif]] ''R'', dari bidang: '''aljabar-''R''''' adalah [[Modul (matematika)|modul-''R'']] dengan operasi asosiatif bilinear-''R'', juga menggunakan identitas perkalian. Untuk contoh konsep ini, jika '' S '' adalah gelanggang dengan [[pemusat (teori gelanggang)|pemusat]] ''C'', maka ''S'' adalah aljabar asosiatif ''C''.

{{Struktur aljabar |Aljabar}}

== Definisi ==
Misalkan ''R'' adalah [[gelanggang komutatif]] tetap. '''Aljabar-''R'' asosiatif''' (atau lebih singkatan, '''aljabar-''R''''') adalah aditif [[grup abelian]] ''A'' menggunakan struktur [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan [[modul (matematika)|modul-''R'']], sehingga [[perkalian skalar]] adalah
:<math>r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)</math>
untuk ''r'' ∈ ''R'' dan ''x'', ''y'' ∈ ''A''. Selanjutnya, ''A'' adalah unital, artinya menggunakan unsur 1 sehingga
:<math>1 x = x = x 1 </math>
untuk ''x'' ∈ ''A''. Perhatikan bahwa elemen 1 adalah sama dengan.

Maka, ''A'' adalah modul-''R'' dengan [[peta bilinear|bilinear-''R'']] [[operasi biner]] ''A'' &times; ''A'' → ''A'' memiliki sifat asosiatif dan identitas.<ref>Catatan teknis: identitas perkalian adalah fungsi trivial dari kategori aljabar asosiatif unital hingga kategori aljabar asosiatif non-unital. Dengan sama dengan identitas perkalian, "satuan" digunakan oleh sifat.</ref> Jika untuk asosiatif, maka sifat tersebut yaitu [[aljabar non-asosiatif]].

Jika ''A'' termasuk komutatif (sebagai gelanggang) maka disebut ''[[aljabar komutatif|aljabar-R komutatif]]''.

=== Sebagai objek monoid dalam kategori modul ===
Definisi dengan asosiatif unital aljabar-''R'' adalah [[monoid (teori kategori)|objek monoid]] dalam [[kategori modul | '''Mod-''R''''']] ([[kategori monoidal]] dari aljabar-''R''). Menurut definisi, gelanggang adalah benda monoid di [[kategori grup abelian]]; pengertian aljabar asosiatif dengan mengganti kategori grup abelian dengan [[kategori modul]].

Mendorong gagasan, beberapa penulis telah memperkenalkan "gelanggang umum" sebagai objek monoid di beberapa kategori lain seperti kategori modul. Maka, reinterpretasi ini memungkinkan untuk referensi eksplisit ke elemen aljabar ''A''. Misalnya, asosiativitas dapat diungkapkan sebagai berikut: dengan sifat universal dari [[produk tensor modul]], perkalian (peta bilinear-''R'') dengan peta linear-''R''
:<math>m: A \otimes_R A \to A</math>.
Asosiatif dengan identitas:
:<math>m \circ ({\operatorname{id}} \otimes m) = m \circ (m \otimes \operatorname{id}).</math>

=== Bentuk homomorfisme gelanggang ===
Aljabar asosiatif dari [[homomorfisme gelanggang]] terletak di [[pemusat gelanggang|pemusat]]. Maka, dimulai dengan gelanggang ''A'' dan homomorfisme gelanggang <math>\eta\colon R \to A</math> terletak di antara [[pemusat (teori gelanggang)|pemusat]] dari ''A'', maka ''A'' dari aljabar-''R'' dengan mendefinisikan
:<math>r\cdot x = \eta(r)x</math>
untuk ''r'' ∈ ''R'' dan ''x'' ∈ ''A''. Jika ''A'' adalah aljabar-''R'', dengan ''x'' = 1, rumus dengan cara mendefinisikan homomorfisme gelanggang <math>\eta\colon R \to A</math> dimana citra yang terletak di tengah.

Jika gelanggang bersifat komutatif maka sama dengan pemusatnya, sehingga komutatif aljabar-''R'' didefinisikan sebagai gelanggang komutatif ''A'' dengan homomorfisme gelanggang komutatif <math>\eta\colon R \to A</math>.

Homomorfisme gelanggang ''η'' di atas disebut [[peta struktur]]. Dalam kasus komutatif, dapat mempertimbangkan kategori dengan objek homomorfisme gelanggang ''R'' → ''A''; yaitu, komutatif aljabar-''R'' dan morfisme dari homomorfisme gelanggang ''A'' → ''A{{'}}''; yaitu ''R'' → ''A'' → ''A{{'}}'' adalah ''R'' → ''A{{'}}'' (yaitu, [[kategori coslice]] dari kategori gelanggang komutatif di bawah ''R''.)  Funktor Spek dari [[spektrum prima]] menentukan anti-ekuivalen dari kategori dengan kategori [[skema Affine]] di atas Spek ''R''.

Cara mengamsumsikan komutatifitas adalah [[geometri aljabar nonkomutatif]] dan [[geometri aljabar turunan]]. Lihat pula: [[gelanggang matriks generik]].

== Homomorfisme aljabar ==
{{main|Homomorfisme aljabar}}
[[Homomorfisme]] diantara aljabar-''R'' adalah [[modul homomorfisme|linear-''R'']] dari [[homomorfisme gelanggang]]. Secara eksplisit, <math>\varphi : A_1 \to A_2</math> adalah '''homomorfisme aljabar asosiatif''' jika
:<math>\begin{align}
  \varphi(r \cdot x) &= r \cdot \varphi(x) \\
      \varphi(x + y) &= \varphi(x) + \varphi(y) \\
         \varphi(xy) &= \varphi(x)\varphi(y) \\
          \varphi(1) &= 1
\end{align}</math>

Kelas dari aljabar-''R'' dengan homomorfisme aljabar diantara [[kategori (matematika)|kategori]], biasanya dilambangkan dengan '''''R''-Alj'''.

[[Subkategori]] dari komutatif aljabar-''R'' dikarakterisasi sebagai [[kategori coslice]] ''R''/'''CGelanggang''' dimana '''CGelanggang''' adalah [[kategori gelanggang komutatif]].

== Contoh ==

Contoh paling dasar adalah gelanggang; aljabar di atas subgelanggang yang terletak di tengahnya. Secara khusus, gelanggang komutatif apa pun adalah aljabar di atas salah satu subringnya. Contoh lain berlimpah baik dari aljabar dan bidang matematika lainnya.

=== Aljabar ===
* Gelanggang ''A'' dapat dianggap sebagai aljabar-'''Z'''. Homomorfisme gelanggang dari '''Z''' hingga ''A'', 1 ke identitas ''A''. Oleh karena itu, gelanggang dan aljabar-'''Z''' adalah konsep ekuivalen, dengan modul [[grup abelian]] dan ekuivalen-'''Z'''.
* Gelanggang [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] ''n'' adalah aljabar-('''Z'''/''n'''''Z''') dalam penggunaan yang sama.
* Maka modul-''R'' dari ''M'', [[gelanggang endomorfisma]] dari ''M'', dilambangkan End<sub>''R''</sub>(''M'') adalah aljabar-''R'' dengan mendefinisikan (''r''·φ)(''x'') = ''r''·φ(''x'').
* Gelanggang [[matriks (matematika)|matriks]] dengan koefisien dalam gelanggang komutatif ''R'' membentuk aljabar-''R'' di bawah penjumlahan dan perkalian matriks. Sebagai contoh sebelumnya ketika ''M'' adalah modul-''R'' yang dihasilkan secara hingga.
* Persegi ''n''-oleh-''n'' [[matriks (matematika)|matriks]] dengan entri dari bidang ''K'' membentuk aljabar asosiatif di atas ''K''. Secara khusus, [[2 × 2 matriks real]] membentuk aljabar asosiatif yang berguna dalam pemetaan bidang.
* [[Bilangan kompleks]] membentuk aljabar asosiatif 2 dimensi di atas [[bilangan riil]].
* [[Kuaternion]] membentuk aljabar asosiatif 4 dimensi di atas riil (tetapi bukan aljabar di atas bilangan kompleks, karena bilangan kompleks tidak berada di tengah kuartenion).
* [[Polinomial]] dengan koefisien riil membentuk aljabar asosiatif di atas real.
* [[Gelanggang polinomial]] ''R''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''] adalah aljabar komutatif ''R''. Maka, aljabar komutatif bebas ''R'' di himpunan {''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}.
* [[Aljabar bebas|Aljabar-''R'' bebas]] pada himpunan ''E'' adalah aljabar dari 'polinomial' dengan koefisien dalam ''R'' dan tak tentu tidak komuter yang diambil dari himpunan ''E''.
* [[Aljabar tensor]] dari modul-''R'' secara alami adalah aljabar-''R''. Hal yang sama juga berlaku untuk hasil-hasil seperti [[aljabar eksterior|eksterior]] dan [[aljabar simetris]]. Berbicara secara kategoris, [[funktor]] yang memetakan modul-''R''  ke aljabar tensor [[adjoin kiri]] ke funktor yang mengirimkan aljabar-''R'' ke modul-''R'' yang mendasari (struktur perkalian).
* Gelanggang berikut digunakan dalam teori [[gelanggang-λ]]. Gelanggang komutatif ''A'', misalkan <math>G(A) = 1 + tA[\![t]\!],</math> himpunan [[deret pangkat]] formal dengan suku konstanta 1. Merupakan gru0 abelian dengan operasi grup yaitu perkalian deret pangkat. Kemudian gelanggang dengan perkalian, dilambangkan dengan <math>\circ</math>, sehingga <math>(1 + at) \circ (1 + bt) = 1 + abt,</math> ditentukan dengan aksioma gelanggang. Identitas aditif adalah 1 dan identitas perkaliannya adalah <math>1 + t</math>. Then <math>A</math> memiliki struktur kanonik aljabar-<math> G(A) </math> oleh homomorfisme gelanggang
::<math>\begin{cases} G(A) \to A \\ 1 + \sum_{i > 0} a_i t^i \mapsto a_1 \end{cases}</math>
:Di sisi lain, jika ''A'' adalah gelanggang-λ, maka ada homomorfisme gelanggang
::<math>\begin{cases} A \to G(A) \\ a \mapsto 1 + \sum_{i > 0} \lambda^i(a)t^i \end{cases}</math>
:<math> G(A) </math> struktur dari aljabar-''A''.

=== Teori Representasi ===

* [[Aljabar pembungkus universal]] dari [[aljabar Lie]] adalah aljabar asosiatif yang digunakan untuk mempelajari aljabar Lie.
* Jika ''G'' adalah grup dan ''R'' adalah gelanggang komutatif maka himpunan fungsi dari ''G'' hingga ''R'' dengan bentuk hingga dan aljabar-''R''  dengan konvolusi sebagai perkalian. [[Gelanggang grup|Aljabar grup]] dari ''G''. Konstruksi adalah titik awal untuk penerapan studi grup (diskrit).
* Jika ''G'' adalah [[grup aljabar]] (misalnya [[grup Lie kompleks]]), maka [[gelanggang koordinat]] dari ''G'' adalah [[Aljabar hopf]] ''A'' yang bersesuaian dengan ''G''. Struktur ''G'' menjadi struktur ''A''.
* [[Aljabar kuiver]] (atau aljabar jalur) dari grafik berarah adalah aljabar asosiatif gratis di atas bidang yang dihasilkan oleh jalur dalam grafik.

=== Analisis ===

* [[Ruang Banach]]-''X'', [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] [[operator linear]] ''A'' : ''X'' → ''X'' bentuk aljabar asosiatif (menggunakan komposisi operator sebagai perkalian); ini adalah [[aljabar Banach]].
* [[Topologi|Ruang topologi]]-''X'', fungsi bilangan riil atau kompleks yang berkelanjutan pada ''X'' bentuk aljabar asosiatif yang nyata atau kompleks; fungsi ditambahkan dan dikalikan secara searah.
* Himpunan [[semimartingale]] ditentukan pada [[Filtrasi (matematika)#Contoh|ruang probabilitas filter]] (&Omega;,&nbsp;''F'',&nbsp;(''F<sub>t</sub>'')<sub>''t''&nbsp;&ge;&nbsp;0</sub>,&nbsp;P) bentuk gelanggang di bawah [[kalkulus stokastik|integrasi stokastik]].
* [[Aljabar Weyl]]
* [[Aljabar Azumaya]]

=== Geometri dan kombinatorik ===
* [[Aljabar Clifford]], yang berguna dalam [[geometri]] dan [[fisika]].
* [[Aljabar insiden]] dari [[posisi hingga lokal|hingga lokal]] [[himpunan berurutan sebagian]] adalah aljabar asosiatif dalam [[kombinatorik]].

== Konstruksi ==
;Subaljabar: Subaljabar aljabar-''R'' dari ''A'' adalah [[himpunan bagian]] dari ''A'' yang merupakan [[subgelanggang]] dan [[submodul]] dari ''A''. Artinya, harus ditutup dengan penjumlahan, perkalian gelanggang, perkalian skalar, dan harus mengandung elemen identitas ''A''.
;Aljabar hasil bagi: Misalkan ''A'' dari aljabar-''R''. Gelanggang-teori [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] ''I'' dari ''A'' secara umum adalah modul-''R'' karena ''r''&nbsp;·&nbsp;''x'' = (''r''1<sub>''A''</sub>)''x''. [[Gelanggang hasil bagi]] ''A''&nbsp;/&nbsp;''I'' struktur dari sebuah modul-''R'' dari aljabar-''R''. Oleh karena itu, gambar homomorfik gelanggang dari ''A'' juga merupakan aljabar ''R''.
;Produk langsung: Produk langsung dari aljabar-''R'' adalah produk langsung teori gelanggang. Ini menjadi aljabar-''R'' dengan perkalian skalar.
;Produk bebas: bentuk [[produk bebas dari aljabar asosiatif|aljabar bebas]] dari aljabar-''R'' dengan produk grup bebas. Produk gratisnya adalah [[koproduk]] dalam kategori aljabar-''R''.

== Aljabar seperabel ==
{{main|Aljabar seperabel}}
Misalkan ''A'' menjadi aljabar di atas gelanggang komutatif ''R''. Maka aljabar ''A'' adalah<ref>Catatan editorial: ternyata, <math> A^e </math> adalah gelanggang matriks penuh dalam kasus yang menarik dan lebih konvensional karena matriks dari kanan.</ref> modul di atas <math>A^e := A^{op} \otimes_R A</math> dengan tindakan <math>x \cdot (a \otimes b) = axb</math>. Kemudian, menurut definisi, '' A '' dikatakan [[aljabar seperabel|seperabel]] jika peta perkalian <math>A \otimes_R A \to A, \, x \otimes y \mapsto xy</math> sebagai peta linear-<math>A^e</math>,<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=§ 4.7.}}</ref> dimana <math>A \otimes A</math> adalah modul-<math> A^e </math> oleh <math>(x \otimes y) \cdot (a \otimes b) = ax \otimes yb</math>. Ekuivalen,<ref>Untuk melihat kesetaraan, perhatikan bagian dari <math>A \otimes_R A \to A</math> dapat digunakan untuk bagian dari suatu perkiraan.</ref>
<math>A</math> seperabel jika itu adalah [[modul proyektif]] di atas <math>A^e</math>; jadi, dimensi proyek <math> A^e </math> dari ''A'', terkadang disebut '''bidimensi''' dari '' A '', mengukur keterpisahan.

== Aljabar non-unital ==

Beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar asosiatif" untuk merujuk pada struktur yang tidak selalu memiliki identitas perkalian, dan karenanya pertimbangkan homomorfisme yang belum tentu unital.

Salah satu contoh aljabar asosiatif non-unital diberikan oleh himpunan fungsi ''f'': '''R''' → '''R''' yang [[limit fungsi|limit]] sebagai ''x'' mendekati tak hingga adalah nol.

Contoh lain adalah ruang vektor dari fungsi periodik kontinu, bersama-sama dengan [[hasil perkalian|konvolusi]].

== Lihat pula ==
* [[Aljabar abstrak]]
* [[Struktur aljabar]]
* [[Aljabar di atas lapangan]]
* [[Aljabar shef]], jenis aljabar di atas [[ruang gelanggang]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
*{{cite web|last=Artin|first=Michael|title=Noncommutative Rings|url=http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf|year=1999}}
* {{Cite book|author=Bourbaki, N.|title=Algebra I|publisher=Springer|year=1989|isbn=3-540-64243-9|url=https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&q=%22associative+algebra%22}}
* {{cite book | title=Further Algebra and Applications | first=P.M. | last=Cohn | author-link=Paul Cohn | edition=2nd | publisher=Springer | year=2003 | isbn=1852336676 | zbl=1006.00001 }}
* Nathan Jacobson, Structure of Rings
* James Byrnie Shaw (1907) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=05160001 A Synopsis of Linear Associative Algebra], link from [[Cornell University]] Historical Math Monographs.
*  Ross Street (1998) ''[https://web.archive.org/web/20050825034431/http://www-texdev.ics.mq.edu.au/Quantum/Quantum.ps Quantum Groups: an entrée to modern algebra]'', an overview of index-free notation.
* {{Citation | last1=Waterhouse | first1=William | author1-link=William_C._Waterhouse | title=Introduction to affine group schemes | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90421-4 | year=1979 | volume=66 | doi=10.1007/978-1-4612-6217-6 | mr=0547117}}

{{DEFAULTSORT:Associative Algebra}}
[[Kategori:Aljabar]]
[[Kategori:Geometri aljabar]]